Si [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 2 [/ matemática] y [matemática] c ^ 2 + d ^ 2 = 1 [/ matemática] entonces el valor de [matemática] (ad-bc) ^ 2 + ( ac + bd) ^ 2 [/ math] es igual a?

Supongo que la persona que hizo esta pregunta está familiarizada con el mecanismo básico de factorización y las identidades algebraicas básicas como (a + b) ^ 2.

Entonces empecemos.

Digamos (ad – bc) = X y (ac + bd) = Y.

La pregunta pregunta el valor de X ^ 2 + Y ^ 2

Ahora X ^ 2 = (ad – bc) ^ 2 = a ^ 2d ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 – 2abcd… .. (1)

Y ^ 2 = (ac + bd) ^ 2 = a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2d ^ 2 + 2abcd… (2)

Agregue (1) y (2) , obtendrá el siguiente término (el término 2abcd se cancela):

X ^ 2 + Y ^ 2 = a ^ 2c ^ 2 + a ^ 2d ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + b ^ 2d ^ 2

Tomando a ^ 2 yb ^ 2 común en lo anterior, tenemos la siguiente forma

= a ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2) + b ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2)

= (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)

= 2 * 1 (Dado que (a ^ 2 + b ^ 2) = 2 , ( c ^ 2 + d ^ 2) = 1 como se indica)

= 2

De ahí el valor de la expresión requerida X ^ 2 + Y ^ 2 = 2.

La esperanza anterior fue útil.

La respuesta es 2 .

Podemos resolver fácilmente expandiendo los corchetes y cancelando términos y algo de factorización.

Otra forma es usar álgebra compleja .

Sea x = a + ib, y = c + id;

entonces [matemáticas] | x | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 = 2, | y | ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2 [/ matemáticas]

y, [matemáticas] xy = (ad-bc) + i (ac + bd) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] | xy | ^ 2 = (| x | ^ 2) (| y | ^ 2) = (ad-bc) ^ 2 * (ac + bd) ^ 2 = (2) (1) = 2 [/matemáticas]

La respuesta es 2.
ATQ
a ^ 2 + b ^ 2 = 2 y c ^ 2 + d ^ 2 = 1
Y al abrir el soporte obtenemos:

  1. (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 + 2abcd + (ad) ^ 2 + (bc) ^ 2 – 2abcd
  2. Ambos 2abcd serán cancelados.
  3. (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 + (ad) ^ 2 + (bc) ^ 2
  4. Si tomamos en común , entonces obtenemos:
  • a ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2) + b ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2)
  • (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)

Ahora sustituyendo el valor mencionado anteriormente.

2 x 1 = 2

También podemos resolver este problema usando álgebra vectorial.

dejar,

A (vector) [matemáticas] = [/ matemáticas] ai + bj

B = ci + dj

C = di – cj

dado que damos la magnitud de los vectores A, B, C, respectivamente, son √ [matemáticas] 2,1,1, ya que la magnitud [/ matemáticas] de los vectores C y B son iguales.

Ahora tome el producto de puntos de A y B, B y C, C y A

tenemos ,

A (punto) B = | A || B | cosx = (ac + bd) donde x es el ángulo entre el vector A y B.

B (punto) C = 0;

como sabemos si el producto escalar de dos vectores es 0, entonces los vectores son perpendiculares entre sí.

A (punto) C = | A || C | cos (90-x) = (ad-bc) (como sabemos que el ángulo entre A y B es x y el ángulo entre B y C es 90, entonces el ángulo entre A n C es 90-x)

ahora como se pregunta en la pregunta;


(ad − bc) 2+ (ac + bd) 2 = {| A || C | cos (90-x)} 2 + {| A || B | cosx} 2

también nosotros | B | = | C |

por lo tanto

obtenemos {| A || B |} 2 {(sinx) 2 + (cosx) 2}

por lo tanto, {| A || B |} 2 = 2.

Podemos hacer uso del teorema de Pitágoras para representar las 2 ecuaciones dadas como triángulos en ángulo recto.

Considere la siguiente figura:

Donde [matemática] CE = 1 [/ matemática], [matemática] AC = \ sqrt {2} [/ matemática], [matemática] \ angle {ABC} = \ angle {CDE} = 90 ^ {\ circ} [/ matemáticas] .

Ahora [math] \ triangle {ABC} [/ math] y [math] \ triangle {EDC} [/ math] son ​​similares.

Así [matemáticas] \ frac {CD} {CB} = \ frac {DE} {BA} = \ frac {CE} {CA} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math].

Por lo tanto, [matemática] \ frac {c} {a} = \ frac {d} {b} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemática]

Por lo tanto, [math] ad = bc [/ math]

[matemáticas] \ implica (ad-bc) ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Además, tenemos [math] a = \ sqrt {2} c \ quad y \ quad b = \ sqrt {2} d [/ math].

[matemáticas] \ implica ac = (\ sqrt {2} c) c = \ sqrt {2} c ^ 2 \ quad y \ quad bd = (\ sqrt {2} d) d = \ sqrt {2} d ^ 2 [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica ac + bd = \ sqrt {2} c ^ 2 + \ sqrt {2} d ^ 2 = \ sqrt {2} (c ^ 2 + d ^ 2) = \ sqrt {2} [/ matemáticas ]

Así [matemáticas] (ac + bd) ^ 2 = (\ sqrt {2}) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] (ad-bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 = 0 + 2 = 2 [/ matemáticas]

NOTA: He usado una configuración específica de dichos triángulos en ángulo recto que restringe aún más el dominio de a, byc.

(ad – bc) ^ 2 = (a ^ 2) (d ^ 2) + (b ^ 2) (c ^ 2) – 2abcd

(ac + bd) ^ 2 = (a ^ 2) (c ^ 2) + (b ^ 2) (d ^ 2) + 2abcd

Agregando las dos expresiones anteriores obtenemos

(anuncio – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2

= (a ^ 2) (d ^ 2) + (b ^ 2) (c ^ 2) + (a ^ 2) (c ^ 2) + (b ^ 2) (d ^ 2)

Ahora, mire los datos proporcionados: si multiplicamos las dos expresiones que se nos dan, obtenemos,

[(a ^ 2) + (b ^ 2)] [(c ^ 2) + (d ^ 2)]

= (a ^ 2) (d ^ 2) + (b ^ 2) (c ^ 2) + (a ^ 2) (c ^ 2) + (b ^ 2) (d ^ 2),

y, por lo tanto, la expresión requerida es igual a 2 x 1 = 2.

Sea S = [matemáticas] (ad-bc) ² + (ac + bd) ² [/ matemáticas]

[matemáticas] S = (a²d² + b²c²-2abcd) + (a²c² + b²d² + 2abcd) [/ matemáticas]

[matemáticas] S = a² (c² + d²) + b² (c² + d²) [/ matemáticas]

[matemática] S = (a² + b²) (c² + d²) = 2 × 1 [/ matemática]

[matemáticas] S = 2 [/ matemáticas]

Espero que esto responda a su pregunta

La gente ha explicado en detalle en el método tradicional.

Trataré de explicar un método abreviado.

Toma la primera ecuación

a ^ 2 + b ^ 2 = 2

Como la potencia de a & b es 2, obtendrá solo el entero positivo. Entonces solo no. Lo que puede satisfacer esta ecuación es

a = 1 yb = 1.

Ahora la segunda ecuación

c ^ 2 + d ^ 2 = 1

Además, para que esta ecuación se satisfaga, “c” o “d” deben tomar el valor 1 y la otra variable debe ser cero.

Caso 1: c = 1 yd = 0

Ahora, (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 será igual a

(1 * 0 – 1 * 1) ^ 2 + (1 * 1 + 1 * 0) ^ 2 = 2

Caso 2: c = 0 yd = 1

Ahora, (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 será igual a

(1 * 1 – 1 * 0) ^ 2 + (1 * 0 + 1 * 1) ^ 2 = 2.

Sea cual sea el caso, obtendrá ans como 2 solamente.

=> usted asume c o d como cero

Este método solo tomará unos segundos para resolver el problema.

  • También hay una solución alternativa para esta ecuación.

Como no se menciona el dominio de las variables, también podemos usar números irracionales.

Ahora para este enfoque nuevamente tome la primera ecuación

a ^ 2 + b ^ 2 = 1

Para satisfacer esta ecuación, podemos tener “a” como √2 y “b” como cero o viceversa.

Y la segunda ecuación tendrá la misma solución que se explicó en el caso anterior porque √1 = 1 = 1 ^ 2.

Entonces aquí tendrás cuatro casos

  1. a = √2, b = 0, c = 1, d = 0
  2. a = √2, b = 0, c = 0, d = 1
  3. a = 0, b = √2, c = 0, d = 1
  4. a = 0, b = √2, c = 1, d = 0

Ahora tomaremos el caso 1

Ahora, (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 será igual a

(√2 * 0-0 * 1) ^ 2 + (√2 * 1 + 0 * 1) ^ 2 = 2

Del mismo modo para todos los casos, obtendrá ans como “2”.

Puede asumir cualquiera de los casos para encontrar la respuesta.

Espero que esta respuesta haya sido útil.

Nota: también puede usar este método para averiguar las soluciones de la ecuación.

Imagina dos números complejos [matemática] r_1 e ^ {i \ theta_1} = a – ib [/ matemática] y [matemática] r_2 e ^ {i \ theta_2} = c + id [/ matemática]. Sabemos que [matemáticas] r_1 = | a-ib | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = \ sqrt {2} [/ math] y de manera similar para [math] r_2 [/ math].

El producto de estos dos números complejos es [math] r_1 * r_2 * e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = (ac + bd) + i (ad-bc) [/ math], cuadrado de cuyo valor absoluto es [matemáticas] r_1 ^ 2 * r_2 ^ 2 = 2 [/ matemáticas].

Podemos encontrar fácilmente la respuesta usando propiedades elementales de valor absoluto de números complejos.

Tenemos, [matemáticas] \; \; \; \; \; | AB | ^ {2} \; = \; | A | ^ {2}. | B | ^ {2} \; \; [/ math] para cualquier número complejo [math] \; \; A \; \; [/ math] y [math] \; \; B \;. \; [/ math]

Tomando [matemáticas] \; \; A \; = \; a \; + \; ib \; \; \; [/ math] y [math] \; \; \; B \; = \; c \; – \; carné de identidad\;,\; [/matemáticas]

obtenemos [matemáticas] \; \; \; (ac + bd) ^ {2} \; + \; (ad – bc) ^ {2} \; = \; \ big (\; a ^ {2} \; + \; b ^ {2} \; \ big) \;. \; \ big ( \; c ^ {2} \; + \; d ^ {2} \; \ big) \; = \; 2 \; \ times \; 1 \; = \; 2. [/ Math]

Puedes usar álgebra para mostrar que
[matemáticas] (ad-bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]

**EDITAR:
[matemáticas] (anuncio – bc) ^ 2 = a ^ 2 d ^ 2 – 2abcd + b ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (ac + bd) ^ 2 = a ^ 2 c ^ 2 + 2abcd + b ^ 2 d ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) = a ^ 2 c ^ 2 + a ^ 2 d ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 d ^ 2 [ /matemáticas]

LHS = (ad -bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2

Aplique la fórmula básica (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 a la misma.

Al abrir los corchetes y agrupar los términos comunes se obtiene lo siguiente (a ^ 2 + b ^ 2) x (c ^ 2 + d ^ 2) = 2 x 1 = 2

La solución a esta pregunta es bastante simple. Solo resuelve los cuadrados.

Vamonos:

[matemáticas] ans = [/ matemáticas] [matemáticas] (ad-bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] ans = a ^ 2d ^ 2 + b ^ 2c ^ 2-2abcd + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2d ^ 2 + 2abcd [/ matemáticas]

Los términos [matemáticas] 2abcd [/ matemáticas] y [matemáticas] -2abcd [/ matemáticas] se cancelan entre sí. Agrupando los términos, obtenemos,

[matemáticas] ans = a ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2) + b ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]

Sabemos que [matemática] c ^ 2 + d ^ 2 = 1 [/ matemática] de la pregunta

Por lo tanto, [matemáticas] ans = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Sabemos que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 2 [/ matemáticas] de la pregunta

Por lo tanto, obtenemos, [matemáticas] ans = 2 [/ matemáticas]

¡Espero que esto sea útil!

Si A ^ 2 + B ^ 2 = 2 considere el valor de A y B como 1. Para que la ecuación satisfaga.

C ^ 2 + D ^ 2 = 1. Considere el valor de C como 1 y el valor de D como 0, para que la ecuación satisfaga.

Entonces A = 1, B = 1, C = 1, D = 0.

(AD-BC) ^ 2 = (0-1) ^ 2 = 1

(AC + BD) ^ 2 = (1 + 0) ^ 2 = 1

1 + 1 = 2

Sin ecuaciones … solo sustituciones 😛

Con sustitución simple después de mirar la ecuación

como, a = 1; b = 1; c = 0; d = 1;

la respuesta es 2;

Yendo usando el enfoque algebraico

(ac + bd) ^ 2 + (ad – bc) ^ 2 = (ac) ^ 2 + 2acbd + (bd) ^ 2 + (ad) ^ 2 – 2abcd + (bc) ^ 2

Simplifiquemos:

(ax + bd) ^ 2 + (ad-bc) ^ 2 = (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 + (ad) ^ 2 + (bc) ^ 2

Reorganicemos los términos:

==> (ac + bd) ^ 2 + (ad-bc) ^ 2 = (ac) ^ 2 (bc) ^ 2 + (bd) ^ 2 + (ad) ^ 2

Ahora factorizaremos:

= c ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) + d ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2)

= (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) …

==> (ac + bd) ^ 2 + (ad-ac) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)

Similar:

(ac-bd) ^ 2 + (ad + ac) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ((c ^ 2 + d ^ 2)

Resp .: 2

(ad-bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 = (ad) ^ 2 + (bc) ^ 2 – 2abcd + (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 + 2abcd
= (a ^ 2) (d ^ 2) + (b ^ 2) (c ^ 2) + (a ^ 2) (c ^ 2) + (b ^ 2) (d ^ 2)
= a ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2) + b ^ 2 (c ^ 2 + d ^ 2)
= (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)
= 2 * 1
= 2

La respuesta es 2 …
Porque, expandiendo la ecuación obtenemos
{a²d² + b²c² -2abcd + a²c² + b²d² + 2abcd}
Tomando como términos,
a² (d² + c²) + b² (c² + d²)
Dado que se da que c² + d² = 1, entonces tenemos,
a².1 + b².1
O,. a² + b²
Que se da para ser 2 …

Para niños pequeños:

Hay muchos métodos para obtener la respuesta correcta a la pregunta anterior y muchas más formas de obtener respuestas incorrectas. 🙂

A medida que aprendemos más conceptos o metodologías, podemos probarlo de diferentes maneras. Pero para los principiantes que generalmente son niños pequeños, la forma en que lo resuelven es la forma básica en que nuestro cerebro piensa y calcula. Asi que aqui esta. Si algún niño encuentra esta respuesta en la búsqueda de Google, puede probarla solo como se explica aquí. Es una ecuación realmente interesante para ti si lo piensas bien.


Dado: a ^ 2 + b ^ 2 = 2 y c ^ 2 + d ^ 2 = 1
Para encontrar: (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2

Toma a ^ 2 + b ^ 2 = 2
Como sabemos (1) ^ 2 = 1 y (-1) ^ 2 = 1 ,
Entonces, en cualquier caso, a = 1 o -1 y b = 1 o -1
Los valores posibles para las variables en esta ecuación serán (1) ^ 2 + (1) ^ 2 o (-1) ^ 2 + (-1) ^ 2 o (1) ^ 2 + (-1) ^ 2 o (-1) ^ 2 + (1) ^ 2

Ahora considere, c ^ 2 + d ^ 2 = 1
Entonces aquí tiene que ser (1) ^ 2 + (0) ^ 2 o (0) ^ 2 + (1) ^ 2 o bien (-1) ^ 2 + (0) ^ 2 o (0) ^ 2 + (-1) ^ 2

Entonces c = 0 o 1 o -1 yd = 0 o 1 o -1
Pero solo una de las variables entre c y d puede ser 0 a la vez; no ambos. El otro será 1 o -1

Entonces ahora tenemos
a byc d
1 1 0 1
1 -1 1 0
-1 1 0 -1
-1 -1 -1 0

Ahora podemos tomar cualquier combinación entre los valores ” ab ” y ” cd “.

Como sabemos, 1 * 1 = 1, 1 * 0 = 0, 1 * -1 = -1 y 0 * -1 = 0

Pero de nuevo (-1) ^ 2 = 1 y (1) ^ 2 = 1

Ahora calculemos el valor de (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2

Considere (ad – bc) ^ 2
Aquí ” ad ” o ” bc ” serán 0 y el otro será 1 o -1

Entonces, 1-0 = 1, 0-1 = -1, -1-0 = -1

Al cuadrar el valor, obtenido para (ad – bc) en todos los casos de valor posible resulta ser 1

Entonces ahora, (ad – bc) ^ 2 = 1

Considere (ac + bd) ^ 2

Aquí ac o bd será 0 y el otro será 1 o -1

Entonces, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, -1 + 0 = -1 y 0 + -1 = -1

Al cuadrar el valor, obtenido para (ac – bd) en todos los casos de valor posible resulta ser 1

Entonces ahora, (ac – bd) ^ 2 = 1

Así, a partir de los valores obtenidos de los cálculos anteriores;

Obtenemos (ad – bc) ^ 2 + (ac + bd) ^ 2 = 2 para cualquier combinación de valor raíz que obtenga al resolver la ecuación dada.

Respuesta: 2

Echemos

C = cosx, d = sen x;

a = 2 ^ 1/2 (raíz 2) cosx, b = 2 ^ 1/2 senx;

La sustitución anterior satisfará a ^ 2 + b ^ 2 = 2 y c ^ 2 + d ^ 2 = 1;

Y ahora

(2 ^ 1/2 cosx * sinx -2 ^ 1/2 cosx * sinx) ^ 2 + (2 ^ 1/2 cosx * cosx + 2 ^ 1/2 sinx * sinx) ^ 2

= (0) ^ 2 + 2 (cosx ^ 2 + sen x ^ 2) ^ 2;

= 2;

La respuesta es 2:

Ee Brackets, es decir,

= ((ad – bc) ^ 2) + (ac + bd) ^ 2))

= (ad) ^ 2 + (bc) ^ 2–2abcd + (ac) ^ 2 + (bd) ^ 2 + 2abcd

= (a d ) ^ 2 + (b c ) ^ 2 + (a c ) ^ 2 + (b d ) ^ 2 | Agrupándolos

= (a ^ 2 + b ^ 2) * (d ^ 2) + (a ^ 2 + b ^ 2) * (c ^ 2) | Agrupándolos

= (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)

Por lo tanto, obtenemos 2