Voy a suponer que está tratando de resolver un problema como [math] A \ mathbf {x} = \ mathbf {b} [/ math], donde [math] A [/ math] es un [math] m \ veces n [/ math] matriz con [math] m> n [/ math] (más ecuaciones que incógnitas). Para simplificar las cosas, supondré que [matemáticas] A [/ matemáticas] es de rango de columna completa [matemáticas] rango (A) = n [/ matemáticas].
Deje que [math] \ mathbf {a} _k [/ math] sea la columna [math] k ^ {\ mathrm {th}} [/ math] de [math] A [/ math], entonces estamos tratando de encontrar [ math] x_k [/ math] tal que [math] \ mathbf {b} = \ sum_ {k = 1} ^ n x_k \ mathbf {a} _k [/ math]. Es decir, estamos tratando de escribir el RHS como una combinación lineal del conjunto de vectores [math] \ big \ {\ mathbf {a} _k \ big \} [/ math]. Dado que el rango [math] (A) = n [/ math], este conjunto de vectores es una base para su ‘span y el span [math] V [/ math] es un subespacio dimensional [math] n [/ math] de [matemáticas] \ mathbb {R} ^ m [/ matemáticas].
Dado que [math] dim (\ mathbf {b}) = m> n [/ math], todo lo que podemos hacer es encontrar la mejor aproximación [math] \ hat {\ mathbf {b}} [/ math] a [math] \ mathbf {b} [/ math] en el subespacio [math] V [/ math]. En este sentido, intentaremos minimizar el cuadrado de la distancia [math] \ | \ mathbf {b} – \ hat {\ mathbf {b}} \ | ^ 2 [/ math].
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Ahora, dado que [math] V [/ math] es un subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math] tiene una base ortornormal [math] \ {\ mathbf {w} _k \} [/ math ] El problema en cuestión se puede escribir como
[matemáticas]
\ mathrm {min} _ {\ mathbf {\ alpha}} \ | \ mathbf {b} – \ sum_ {k = 1} ^ n \ alpha_k \ mathbf {w} _k \ | ^ 2
[/matemáticas]
Si resuelve este problema de minimización, encontrará que [math] \ alpha_k = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {w} _k [/ math]. Concluimos que el minimizador es la proyección ortogonal de [math] \ mathbf {b} [/ math] sobre [math] V [/ math].
