El teorema de Cochran (en realidad, esta es una versión más simple que el teorema original de Cochran, que es un poco más general) se establece de la siguiente manera:
Sea [math] x [/ math] un [math] n \ times 1 [/ math] vector aleatorio cuya distribución es [math] N (\ mu, \ mathbf {I}) [/ math]. Deje que [math] \ mathbf {A} _1, \ ldots, \ mathbf {A} _k [/ math] sean matrices simétricas de constantes y defina [math] \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _1 + \ cdots + \ mathbf {A} _k [/ math]. Si [math] \ mathbf {A} [/ math] es idempotente y [math] \ text {rank} (\ mathbf {A}) = \ sum_ {i = 1} ^ k \ text {rank} (\ mathbf { A} _i) [/ math], luego [math] \ mathbf {x} ^ \ intercal \ mathbf {A} _i \ mathbf {x} [/ math] se distribuyen independientemente como no central [math] \ chi ^ 2 \ left (\ text {rank} (\ mathbf {A} _i), \ tfrac {1} {2} \ mu ^ \ intercal \ mathbf {A} _i \ mu \ right) [/ math].
Entonces, ¿qué significa esto? ¿Por qué es útil? Bueno, en Estadística, a menudo nos interesa saber cuál es la distribución de algo o cuál es la distribución de una función de algo. Aquí se nos da una variable aleatoria [math] \ mathbf {x} [/ math] y el teorema de Cochran nos da un resultado maravilloso sobre las formas cuadráticas de esa variable aleatoria.
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Esto es útil cuando se hace ANOVA. En ANOVA nuestra variable aleatoria es [math] \ mathbf {y} [/ math] con matriz de diseño [math] \ mathbf {X} [/ math]. descomponemos las sumas de los cuadrados de error, [math] \ mathbf {y} ^ \ intercal \ left (\ mathbf {I} – \ mathbf {X} (\ mathbf {X} ^ \ intercal \ mathbf {X}) ^ – \ mathbf {X} ^ \ intercal \ right) \ mathbf {y} [/ math], en sumas de cuadrados que corresponden a cada una de las covariables en nuestro modelo.
Resulta que estas sumas de cuadrados tienen la forma [math] \ mathbf {y} ^ \ intercal \ mathbf {A} _i \ mathbf {y} [/ math], así que si podemos demostrar que las condiciones del teorema de Cochran se mantienen , entonces obtenemos distribuciones para estas sumas de cuadrados y así podemos hacer inferencia (¡calcular valores p, intervalos de confianza, etc.)!
