- En términos generales, un homomorfismo entre grupos es una función entre ellos que preserva la “estructura”. Formalmente, esto significa que si [math] \ phi [/ math] es un homomorfismo entre los grupos [math] G [/ math] y [math] H [/ math], entonces [math] \ phi (ab) = \ phi (a) \ phi (b) [/ math].
- Intuitivamente, la normalidad significa que un subgrupo se fija bajo conjugación, o más bien es invariable bajo un “cambio de base” por cualquier elemento del grupo. Resulta que la normalidad es la condición precisa necesaria para que el conjunto de cosets de un subgrupo sea un grupo en sí mismo, lo cual es una razón importante por la que se define un concepto tan extraño. (Por cosets, nos referimos a una colección de conjuntos que se forma multiplicando todos los elementos de un grupo con todos los elementos del conjunto).
- El primer teorema de isomorfismo para grupos puede ayudarlo a decodificar esta imagen. Para resumir, establece que cada vez que puede definir un homomorfismo entre grupos, el conjunto de todas las cosas que se asignan a la identidad (núcleo) es un subgrupo normal, y las cosets del núcleo en [matemáticas] G [/ matemáticas ] es isomorfo a la imagen en [matemáticas] H [/ matemáticas]. Entonces, en esta imagen, puede ver que la burbuja roja (núcleo) corresponde a la identidad en el grupo objetivo, y el coset formado multiplicando cualquier elemento en el núcleo por un elemento [math] a [/ math] en el grupo [math ] G [/ math] se asigna a un solo elemento, [math] h (a) [/ math] en [math] H [/ math].
Álgebra abstracta: ¿Qué son los homomorfismos grupales?
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Por favor explique los homomorfismos.
Los homomorfismos son mapas de permanecer igual. Simbólicamente, [matemática] f (a + b) = f (a) + f (b) [/ matemática] significa que cualesquiera propiedades interesantes que asumimos inicialmente sobre [matemática] a + b [/ matemática] todavía estarán allí después del transformación. (si es homomórfico)
En el caso de los grupos, un homomorfismo preservaría todas las propiedades que definen a un grupo. Para que el resultado siga siendo un grupo.
Por favor explique los granos.
Es todo lo que se asigna a cero. 
Por ejemplo raíces de polinomios. Debería informar los valores (argumentos) [matemáticos] x [/ matemáticos] que hacen que el polinomio (salida) termine en cero.
[matemáticas] \ ker f = \ arg \ mathrm {zero} f [/ math]
En el caso de los grupos, la notación aditiva usa [matemática] +0 [/ matemática] como identidad y la notación multiplicativa implica [matemática] \ ast 1 [/ matemática] como identidad. O [math] e [/ math] también puede ser la letra, pero todo se refiere a lo mismo.
Por favor explique esta imagen: 
[math] h [/ math] es un mapa de permanecer igual entre los grupos [math] G \ to H [/ math].
Para ser un homomorfismo (puede probar esto) [matemáticas] h [/ matemáticas] necesita mapear la identidad [matemáticas] 1_G [/ matemáticas] de [matemáticas] G [/ matemáticas] a la identidad [matemáticas] 1_H [ / matemáticas] de [matemáticas] H [/ matemáticas].
También es posible que el mapeo [math] h [/ math] no sea inyectivo. Aquí vemos un montón de cosas (rojo) mapeadas en [math] 1_H [/ math] y un montón de cosas (pukey verde-amarillo) mapeadas en un punto [math] h (a) \ in \ im h = h (G) \ subconjunto H [/ matemáticas].
Volviendo a lo anterior, el rojo es la definición de [math] \ mathrm {kernel} [/ math]: todos los argumentos que se asignan al cero del espacio objetivo.
¿Cuál es el significado de todo esto?
Una vez que comprenda qué es un homomorfismo, es más fácil trabajar con las propiedades derivadas, como lo que se asigna a la identidad o las reglas sobre subgrupos normales que con la definición en sí.
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