- Para muchas personas, los recuerdos de las lecciones de matemáticas en la escuela son todo menos bonitos. Sin embargo, “hermoso” es una palabra que yo y otros matemáticos usamos a menudo para describir nuestro tema. ¿Cómo pueden ser bellas las matemáticas? ¿Importa?
Para mí, como matemático, es muy importante. Mi disfrute de la belleza de las matemáticas es parte de lo que me motiva a estudiar el tema. También es una guía cuando estoy trabajando en un problema: si pienso en algunas estrategias, elegiré la que parezca más elegante primero. Y si mi solución parece torpe, la revisaré para tratar de hacerla más atractiva.
Acabo de terminar de marcar un montón de tareas de mis estudiantes de segundo año de matemáticas. Me sorprenden las soluciones contrastantes de dos estudiantes a un problema. Ambas soluciones son correctas, ambas responden la pregunta. Y sin embargo, prefiero uno al otro. No es solo que uno sea más largo que el otro, o que uno se explique mejor que el otro (de hecho, ambos se describen bien).
Cuanto más tiempo uno no llega al meollo del asunto, está un poco abarrotado de distracciones innecesarias. El otro usa un enfoque diferente, que captura la esencia de las ideas: ayuda al lector a comprender por qué esta parte de las matemáticas funciona de esta manera, no solo eso. Para un matemático, el “por qué” es crítico, y siempre estamos buscando argumentos que lo revelen.
Algunos casos de belleza matemática son claros. Los fractales , por ejemplo, son conjuntos matemáticos de números, correspondientes a formas, que tienen una sorprendente auto-similitud y que han inspirado a numerosos artistas.
Menos es más
¿Pero qué hay de los casos menos obvios? Déjame intentar darte un ejemplo. Quizás reconozca la secuencia de los números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … Esta es una secuencia que los estudiantes suelen encontrar en la escuela: los números triangulares . Cada número en la secuencia corresponde al número de puntos en una secuencia de triángulos.
Los seis primeros números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21.
¿Podemos predecir cuál será el número 1000 en la secuencia? Hay muchas formas de abordar esta cuestión y, de hecho, descubrir las similitudes y diferencias entre estos enfoques es en sí mismo matemático y esclarecedor. Pero aquí hay un argumento bastante hermoso.
Imagina el décimo número en la secuencia (¡porque es más fácil dibujar la imagen que para el milésimo!). Vamos a contar los puntos sin contar los puntos. Tenemos un triángulo de puntos, con 10 en la fila inferior y 10 filas de puntos.
Si hacemos otra copia de ese arreglo, podemos rotarlo y ponerlo al lado de nuestro triángulo de puntos original, para que los dos triángulos formen un rectángulo. Esta forma de puntos tendrá 10 en la fila inferior y 11 filas, por lo que hay 10 x 11 = 110 puntos en total (ver la figura a continuación). Ahora sabemos que la mitad de ellos estaban en nuestro triángulo original, por lo que el décimo número triangular es 110/2 = 55. Y no tuvimos que contarlos.
El décimo número triangular x2.
El poder de este argumento matemático es que podemos generalizar sin problemas a cualquier número, incluso sin dibujar los puntos. Podemos hacer un experimento mental. El triángulo número 1000 en la secuencia tendrá 1000 puntos en la fila inferior y 1000 filas de puntos. Al hacer otra copia de esto y rotarlo, obtenemos un rectángulo con 1000 puntos en la fila inferior y 1001 filas. La mitad de esos puntos estaban en el triángulo original, por lo que el número triangular número 1000 es (1000 x 1001) / 2 = 500500.
Para mí, esta idea de dibujar los puntos, duplicar, rotar y hacer un rectángulo es hermosa. El argumento es poderoso, se generaliza perfectamente (a cualquier tamaño de triángulo) y revela por qué la respuesta es lo que es.
Hay otras formas de predecir este número. Una es mirar los primeros términos de la secuencia, adivinar una fórmula y luego demostrar que la fórmula funciona (por ejemplo, utilizando una técnica llamada prueba por inducción ). Pero eso no transmite la misma explicación memorable detrás de la fórmula. El argumento tiene una economía con imágenes de puntos, un solo diagrama captura todo lo que necesitamos saber.
Aquí hay otro argumento que me parece atractivo. Pensemos en la suma a continuación:
La serie armónica.
Esta es la famosa serie armónica . Resulta que no es igual a un número finito: los matemáticos dicen que la suma “diverge”. ¿Cómo podemos probar eso? Suena difícil, pero una idea elegante hace el trabajo.
La serie armónica con términos agrupados.
Aquí cada grupo de fracciones suma más de ½. Sabemos que ⅓ es mayor que ¼. Eso significa que (⅓) + (¼) es mayor que (¼) + (¼), lo que equivale a ½. Entonces, al agregar suficientes bloques, cada uno más grande que ½, la suma se hace cada vez más grande: podemos vencer a cualquier objetivo que deseemos. Al agregar un número infinito de ellos obtendremos una suma infinita. Hemos domesticado el infinito, con un bello argumento.
¿Un juego de espera?
Estas no son las piezas matemáticas más difíciles. Uno de los desafíos de las matemáticas es que abordar problemas más sofisticados a menudo significa abordar primero la terminología y la notación más sofisticadas. No puedo encontrar una pieza matemática hermosa a menos que primero la entienda correctamente, y eso significa que me puede tomar un tiempo apreciar las cualidades estéticas.
¿Puedes apreciar la belleza de la ‘Plaza Negra’ de Kazimir Malevich? wikipedia
No creo que esto sea exclusivo de las matemáticas. Hay piezas de música, edificios, obras de arte visual en las que al principio no he apreciado su belleza o elegancia, y es solo al perseverar, al lidiar con las ideas, que he llegado a percibir la belleza.
Para mí, una de las alegrías de enseñar a los estudiantes universitarios es verlos desarrollar su propia apreciación de la belleza de las matemáticas. Esta tarde voy a ver mi segundo año para repasar su tarea, y ya sé que tendremos una conversación interesante sobre sus diferentes soluciones, y que teniendo en cuenta las cualidades estéticas jugará un papel importante en la profundización de su comprensión. de las matematicas.
Los estudiantes de la escuela pueden tener la misma experiencia: cuando se les da la oportunidad de participar en preguntas enriquecidas, cuando pueden jugar con ideas matemáticas, cuando tienen la oportunidad de experimentar múltiples estrategias para la misma pregunta en lugar de simplemente obtener la respuesta la parte posterior del libro de texto y seguir adelante. Las ideas matemáticas no tienen que ser de nivel universitario, hay problemas hermosos que son perfectos para los estudiantes de la escuela. Afortunadamente, hay muchos maestros de matemáticas y proyectos de educación matemática que están ayudando a los estudiantes a tener esas experiencias de la belleza de las matemáticas.
