En primer lugar, [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] no deben ser cuadrados perfectos, solo entonces podemos proceder.
En segundo lugar, [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] tiene que ser un polinomio de cuatro grados o más para tener coeficientes racionales, a pesar de tener raíces tan irracionales.
Entonces, ahora que está establecido que [matemáticas] P (x) [/ matemáticas] tiene que ser de cuatro grados o más, sigamos adelante.
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- ¿Cuáles son todos los enteros posibles a y n tales que [matemáticas] \ log _ {\ frac {1} {n}} \ left [\ sqrt {a + \ sqrt {15}} - \ sqrt {a - \ sqrt {15 }} \ right] = - \ frac {1} {2}? [/ math]
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Digamos que las raíces son [matemáticas] \ sqrt {a} + \ sqrt {b} [/ matemáticas], p, q, r.
Luego
[matemáticas] P (x) = (x – (\ sqrt {a} + \ sqrt {b})) (xp) (xq) (xr) [/ math]
Expandiendo esto:
[matemáticas] P (x) = x ^ {4} – (\ sqrt {a} + \ sqrt {b} + p + q + r) x ^ {3} + ((p + q + r) (\ sqrt {a} + \ sqrt {b})) x ^ {2} – (pqr + (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) (pq + qr + rp)) x + pqr (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) [/ math]
Entonces, todos los coeficientes para ser racionales,
[matemáticas] (\ sqrt {a} + \ sqrt {b} + p + q + r) [/ matemáticas], [matemáticas] (p + q + r) (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) [/ math], [math] (pqr + (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) (pq + qr + rp)) [/ math] y [math] pqr (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) [/ math] todos tienen que ser racionales.
Un número como [math] pqr (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) [/ math] puede ser racional solo cuando [math] pqr [/ math] es el conjugado irracional, es decir, [math] pqr = k ( \ sqrt {a} – \ sqrt {b}) [/ math]. Pero también hay otras restricciones. Dado que los otros coeficientes involucran [matemática] (\ sqrt {a} + \ sqrt {b} + p + q + r) [/ matemática] nuevamente siendo racional, la única posibilidad es [matemática] (p + q + r) = – (\ sqrt {a} + \ sqrt {b}) [/ math], ya que no hay otra forma de agregar un número irracional a otro número para obtener un número racional.
Expanda todos los coeficientes anteriores y del mismo razonamiento, obtendrá [matemática] p [/ matemática], [matemática] q [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática].
