Fácil. El teorema fundamental del cálculo dice que la integral de una función es la misma que su antiderivada, y sabemos que la derivada de ln (x) es 1 / x.
¡Pero espera! ¿Cómo sabemos que la derivada de ln (x) es 1 / x? El teorema de la función inversa dice que, si y = ln (x), entonces la derivada de ln (x) en x es la inversa multiplicativa de la derivada de e ^ y en y. (Piense en lo que le sucede a la pendiente de la línea tangente cuando intercambia los ejes xey). En otras palabras,
[matemáticas] \ tfrac d {dx} \ ln (x) = \ left (\ tfrac d {dy} e ^ y \ right) ^ {- 1}. [/ math]
Pero sabemos que la derivada de e ^ y es solo e ^ y, por lo que el lado derecho se simplifica a
[matemáticas] \ left (e ^ y \ right) ^ {- 1} = x ^ {- 1} = \ tfrac1x [/ math].
¡Pero espera! ¿Cómo sabemos que la derivada de e ^ y es e ^ y? Bueno, esa es la definición de la función exponencial (o un teorema, si usa una definición diferente para e).
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