Esa fórmula no es correcta. Pruebe [matemáticas] f (z) = z ^ 2 [/ matemáticas]. El LHS es [math] \ frac {a ^ 4} {6} [/ math] mientras que el RHS es [math] \ frac {a ^ 4} {3} [/ math].
Pero podemos derivar una fórmula correcta realizando primero la transformación lineal: [matemática] w = x + y [/ matemática], [matemática] z = xy [/ matemática]. Entonces, el resto es fácil:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {a} \ int_ {0} ^ {a} f (xy) \, dx \, dy [/ math]
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[matemáticas] = \ int _ {- a} ^ {a} \ int_ {| z |} ^ {2a- | z |} \ frac {1} {2} f (z) \, dw \, dz [/ math ] (detalles que quedan como ejercicio para el lector).
[math] = \ int_ {0} ^ {a} \ int_ {z} ^ {2a-z} f (z) \, dw \, dz [/ math] (ya que el integrando es incluso wrt [math] z [ /matemáticas]).
[math] = 2 \ int_ {0} ^ {a} (az) f (z) \, dz [/ math] (ya que el integrando es constante wrt [math] w [/ math]).
Por lo tanto, la fórmula correcta es:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {a} \ int_ {0} ^ {a} f (xy) \, dx \, dy [/ math] [matemáticas] = 2 \ int_ {0} ^ {a} ( az) f (z) \, dz [/ math].
Además, si [math] f (z) [/ math] no es par, aún podemos encontrar esta fórmula:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {a} \ int_ {0} ^ {a} f (xy) \, dx \, dy [/ math] [matemáticas] = \ int_ {0} ^ {a} (az ) (f (z) + f (-z)) \, dz [/ math].
