En un espacio euclidiano, es decir, uno con una métrica globalmente “plana”, las líneas rectas nunca se cruzan. La aparente intersección “en el infinito” es una ilusión que ofrece el efecto de la perspectiva.
Sin embargo, con una ligera modificación, se puede considerar que todos los pares de líneas se cruzan en algún punto u otro. Si son paralelas, se toman para intersectarse en un punto de la “línea en el infinito” en el plano proyectivo real.
Este plano se puede definir mediante una clase de equivalencia en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] de la siguiente manera: dos puntos [math] (x_1, y_1, z_1) [/ math], [math] (x_2, y_2, z_2) [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] son equivalentes en el plano proyectivo real [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] si se encuentran en el mismo línea a través del origen de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Es decir, si [matemáticas] (\ frac {x_1} {z_1}, \ frac {y_1} {z_1}, 1) = (\ frac {x_2} {z_2}, \ frac {y_2} {z_2}, 1) [/ math], if [math] z_1, z_2 \ ne 0 [/ math]. Son el mismo punto cuando se proyectan en el plano [matemáticas] z = 1 [/ matemáticas] por un rayo a través del origen. Puntos en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] para los cuales [math] z = 0 [/ math] se dice que se encuentran en la línea en el infinito, y cada par de líneas paralelas en [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] se cruza en un punto de esta línea.
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Cómo imagina que los cables se cruzan en el infinito en su visión en perspectiva es una muy buena manera de imaginar cómo funciona ese aspecto del plano proyectivo. Sin embargo, si se cruzan o no depende del espacio en el que esté trabajando. Si estás en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] las líneas paralelas nunca se intersectarán; si es otro espacio, podrían hacerlo. (¡Hay espacios donde las líneas paralelas no pueden existir!)
