Los puntos de un conjunto de Julia (es decir, los puntos límite) son “invariantes” con respecto a las iteraciones posteriores de f (z). Aquí, la invariancia no implica que f (z
j
) = z
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j,
pero eso, para cualquier punto z
j
perteneciente al conjunto J
C
, f (z
j
) también es miembro de J
C
(Peitgen et al. 1992 p. 822).
Los conjuntos de Julia con c puramente real (es decir, de la forma c = a + 0i) son simétricos de reflexión (es decir, la parte del conjunto debajo del eje real puede derivarse al reflejar la parte por encima del eje real). Los conjuntos con complejo c exhiben simetría rotacional, es decir, hay un eje que pasa a través del origen que divide el conjunto en partes que, cuando se giran 180 grados, coincidirán (Elert 22.shtml).
Dependiendo del valor de c seleccionado, el conjunto de Julia resultante puede estar conectado o desconectado, de hecho, totalmente conectado o totalmente desconectado. Existen varios tipos de conexión matemática y no he aprovechado la oportunidad para explorar este tema en detalle. En el caso de los conjuntos de Julia, entiendo que el tipo de conectividad a la que se hace referencia es la conectividad “por ruta”, lo que significa que se puede rastrear una ruta desde un punto del conjunto a otros puntos del conjunto sin abandonar el conjunto (Gagliardo). Sin embargo, el tipo de conexión al que se hace referencia es menos claro en Peitgen et al (1992, p. 803) y puede que no sea un camino. Los conjuntos de Julia conectados están “completamente conectados” en lugar de estar simplemente “conectados localmente”, un resultado mostrado independientemente por Julia y Fatou (Gagliardo). Topológicamente, los conjuntos de Julia conectados son equivalentes a un círculo severamente deformado o a una curva con una serie infinita de ramas y subramas llamadas dendrita (por ejemplo, el conjunto de Julia para c = 0 + i) “(Elert 22.shtml) Tenga en cuenta que las pantallas gráficas de los conjuntos de Julia conectados a menudo parecen demostrar subconjuntos separados aunque en realidad estén conectados. Cuando c está en el eje real (c = a + 0i), los conjuntos de Julia están conectados solo para el intervalo x [ -2, 1/4] (Peitgen et al. 1992 p. 832).
Mandelbrot, llamada Julia desconectada, establece un “polvo” de puntos (Mandelbrot p. 79), o “polvo de Fatou” (después de Pierre Fatou 1878-1929) (Mandelbrot p. 182). Este es un término lógico, ya que un conjunto desconectado de Julia consiste en puntos individuales en el plano complejo que, como el polvo escasamente rociado en una hoja, no están conectados a ningún otro. Otro término utilizado para describir un conjunto de Julia desconectado es el polvo de Cantor (Peitgen et al. 1992 p. 798). El conjunto de puntos de Cantor es un conjunto totalmente desconectado producido al dividir sucesivamente el segmento de línea [0,1] en tercios y descartar el segmento central que produce [0,1 / 3] y [2/3, 1], y luego se repite para cada segmento de línea restante hasta el infinito (Peitgen el al 1992 p. 68). La distribución de puntos en un conjunto desconectado de Julia se asemeja cualitativamente a la apariencia del polvo de Cantor más fácil de imaginar, ya que están totalmente desconectados. Elert afirma: “Los conjuntos desconectados están completamente desconectados en un conjunto infinitamente infinito de puntos aislados. Además, estos puntos están dispuestos en grupos densos de modo que cualquier disco finito que rodea un punto contiene al menos otro punto en el conjunto”. (Elert 22.shtml).
El criterio que determina si un conjunto de Julia está conectado o desconectado se discutirá a continuación con el conjunto de Mandelbrot
