Muchas de las funciones a las que está acostumbrado a utilizar en sus primeros estudios de cálculo de variables reales se pueden extender para permitir un dominio de números complejos.
Por ejemplo, la función exponencial para números reales está (a menudo) definida por las series convergentes en todas partes:
[matemáticas] \ exp (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ ldots [/matemáticas]
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Pero resulta que esta serie también converge para todos los números complejos, por lo que podemos extender la definición de la función exponencial a un dominio de números complejos, [math] z \ in \ mathbb C [/ math]:
[matemáticas] \ exp (z) = 1 + z + \ frac {z ^ 2} {2!} + \ frac {z ^ 3} {3!} + \ frac {z ^ 4} {4!} + \ ldots [/matemáticas]
Las funciones trigonométricas pueden extenderse de manera similar a los polinomios, las potencias e incluso el logaritmo natural.
A menudo definimos la función de registro natural valorada real para [math] x> 0 [/ math] como:
[math] \ ln (x) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ frac {dt} t [/ math]
Observe que [math] x> 0 [/ math] es necesario porque si [math] x \ le 0 [/ math], la integral no da un número real como respuesta.
Podemos extender esta definición a un dominio de números complejos distintos de cero para obtener el logaritmo natural complejo, [math] \ log (z) [/ math]. La forma habitual de hacerlo es escribiendo el número complejo [math] z [/ math] por su representación polar, [math] z = r \ exp \ left (i (\ theta + 2 \ pi n) \ right) [ /matemáticas]. Aquí [math] r> 0 [/ math] es el módulo (o valor absoluto) del número complejo [math] z [/ math] a menudo escrito como [math] r = | z | [/ math], [math] \ theta [/ math] es el valor principal del argumento de [math] z [/ math] a menudo escrito como [math] \ text {Arg} (z) [/ math] y [math] n [/ math] Es cualquier número entero.
[matemáticas] \ log (z) = \ ln (r) + i (\ theta + 2 \ pi n) = \ ln (| z |) + i (\ text {Arg} (z) +2 \ pi n) [/matemáticas]
A veces, es útil no obtener una respuesta de valores múltiples cuando hacemos logaritmos de números complejos, por lo que tomamos [math] n = 0 [/ math] para obtener el valor principal del logaritmo natural complejo .
Ahora que tenemos a mano el complejo (multivalor) logaritmo natural, es simple ver cómo podemos extender la idea de logaritmos de otras bases (además de definirlo como número real positivo como bases).
La forma habitual de definir [math] \ log_a (x) [/ math] para [math] a \ in \ mathbb R ^ + [/ math] y [math] x \ in \ mathbb R ^ + [/ math] es escribiendo:
[matemáticas] \ log_a (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)} [/ matemáticas]
Utilizamos el mismo enfoque para números complejos distintos de cero [matemática] b, z [/ matemática] para obtener:
[matemáticas] \ log_b (z) = \ frac {\ log (z)} {\ log (b)} = \ frac {\ ln (| z |) + i (\ text {Arg} (z) +2 \ pi n)} {\ ln (| b |) + i (\ text {Arg} (b) +2 \ pi m)} [/ math]
para enteros [matemática] m, n [/ matemática].
Entonces podemos usar esta definición para obtener:
[matemáticas] \ log _ {- 2} (- 2) = \ frac {\ ln (2) + i (\ pi + 2 \ pi n)} {\ ln (2) + i (\ pi + 2 \ pi m )}[/matemáticas]
Tenga en cuenta que el resultado es un conjunto infinitamente contable de valores que no es sorprendente porque la compleja función de registro natural tiene múltiples valores. Sin embargo, si solo desea el valor principal de la respuesta, podemos obtenerlo estableciendo [math] m = n = 0 [/ math], y descubrimos que, tal como esperaríamos,
[matemáticas] \ log _ {- 2} (- 2) = \ frac {\ ln (2) + i \ pi} {\ ln (2) + i \ pi} = 1 [/ matemáticas]
