Realmente me gusta la prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz) :
Deje que [math] (E, \ langle \, \ \ rangle) [/ math] sea un verdadero espacio prehilbert. Entonces [matemáticas] \ displaystyle \ forall x, y \ en E, \ langle x, y \ rangle ^ 2 \ le \ langle x, x \ rangle \ langle y, y \ rangle [/ math]
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Prueba:
Deje [math] x, y \ en E [/ math], y considere la siguiente función:
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} P \ colon \ mathbb R & \ to \ mathbb R ^ + \\ t & \ mapsto \ langle x + ty, x + ty \ rangle \ end {align} [/ math]
De los axiomas de un producto interno (positividad aquí) se desprende que [math] P (t) \ ge 0 [/ math] para cualquier [math] t [/ math]. Pero considere el desarrollo [matemáticas] P [/ matemáticas] usando la bilinealidad:
[matemáticas] \ displaystyle P (t) = \ langle x, x \ rangle + 2t \ langle x, y \ rangle + t ^ 2 \ langle y, y \ rangle [/ math]
Parece que [matemáticas] P [/ matemáticas] es un polinomio real de grado 2, que también es siempre positivo. ¿Qué te dice eso sobre su discriminante? Es negativo
Desarrollando el discriminante:
[matemáticas] \ displaystyle 4 \ langle x, y \ rangle ^ 2-4 \ langle x, x \ rangle \ langle y, y \ rangle \ le0 [/ math]
lo que lleva a lo deseado
[matemáticas] \ langle x, y \ rangle ^ 2 \ le \ langle x, x \ rangle \ langle y, y \ rangle [/ math]
Me gusta esta prueba porque es elemental y, sin embargo, el teorema conduce a algunos buenos resultados, como
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n x_ky_k \ right) ^ 2 \ le \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n x_k ^ 2 \ right) \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n y_k ^ 2 \ right) [/ math]
si considera el producto de punto canónico de [math] \ mathbb R ^ n [/ math], o como
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) g (x) dx \ right) ^ 2 \ le \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ^ 2dx \ right) \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) ^ 2dx \ right) [/ math]
si considera el producto de punto canónico de [math] L ^ 2 (\ mathbb R, \ mathbb R) [/ math]
Entonces el teorema es interesante, pero ¿la prueba? Bueno, una vez más, es elemental. Todo lo que debe saber para comprenderlo son los axiomas de un producto escalar y la fórmula cuadrática.
Los estudiantes de secundaria entienden esta prueba y, cuando la vi, era la primera vez, nunca había pensado en el discriminante como una forma de obtener una desigualdad.
Eso es creatividad
