No sé exactamente a qué te refieres con una gran teoría unificada de todo para las matemáticas, pero me recuerda un par de ideas relacionadas.
Stan Ulam escribió una vez que le gustaba pensar en preguntas sobre la “forma” general de las matemáticas. Preguntó si es posible, por ejemplo, que los resultados que conocemos hoy resulten ser corolarios fáciles de un pequeño número de profundos “teoremas maestros” que se descubrirán en el futuro. Si sucediera algo como esto, supongo que uno podría pensar que es una “teoría de todo en matemáticas” (o al menos todo lo descubierto hasta ese momento). Sin embargo, parece que es poco probable que sea posible.
Los matemáticos son aficionados a encontrar formas en que diferentes campos pueden influirse entre sí. Sin embargo, no es muy frecuente que un campo esté realmente incluido dentro de otro. El método de coordenadas se acerca a hacerlo, dándole a uno una forma de reducir un problema de geometría elemental a un problema sobre números reales, pero incluso en ese caso, no siempre es el caso de que aplicar coordenadas de inmediato sea La forma más fácil de resolver un problema de geometría elemental. Martin Davis describió cómo una vez intentó probar el teorema de Napoleón utilizando un método sistemático, y no funcionó bien.
- ¿Libros que fomentan el pensamiento matemático (para un alumno de 3er grado)?
- ¿Qué esfera tiene más números de puntos en su superficie, uno con un radio de 5 u otro con un radio de 6?
- Un padre, una madre y 6 hijos están parados en un anillo. ¿De cuántas maneras se pueden organizar si el padre y la madre no pueden pararse uno al lado del otro?
- Si Y = 6666 n veces ^ 2 + 88888 n veces ^ 2, ¿cuál es el centésimo dígito en Y? N> 1
- ¿Cuál es la ley asociativa de un número complejo?
Ese es un fenómeno común; Los problemas que en cierto sentido son “equivalentes” resultan tener diferentes naturalezas dependiendo de lo que cuenta como un ejemplo “típico”. Si le pregunta a la gente por problemas de geometría elemental y problemas elementales sobre la línea real, en principio puede traducir cada tipo de problema en un problema del otro tipo, pero los problemas que se le ocurren naturalmente en cada área no se traducen en los que parecen muy naturales en el otro campo. Algunos de los problemas tienen un sabor naturalmente geométrico, y algunos tienen un sabor natural de análisis real, por lo que realmente no se ha incluido uno en el otro.
Desarrollé un interés en la lógica cuando era adolescente motivado en parte por el deseo de hacer metamatemáticas (Metamathematics – Wikipedia). Probablemente la metamatemática es el campo que más se acerca a la búsqueda de una teoría general de las matemáticas. Una de las cosas que uno se da cuenta eventualmente (o al menos debería darse cuenta) es que cuando trata las matemáticas en un nivel de generalidad tan grande, limita en gran medida la relevancia de lo que uno puede decir sobre el caso particular. Es como hacer zoología exclusivamente al encontrar propiedades que tienen todos los animales. Posiblemente uno puede encontrar algunos datos interesantes como ese, pero la zoología se trata casi de casos mucho más específicos que eso. No llamaría a la metamatemática un “recado de tontos”; siempre existe una búsqueda entre los lógicos para encontrar resultados simultáneamente pertinentes a la forma en que se realizan las matemáticas reales y de un alto nivel de generalidad. Solo tenga en cuenta que este enfoque tiene sus limitaciones.
Hay un campo en la lógica llamado teoría de modelos, que en principio tiene un nivel bastante alto de generalidad. Sin embargo, algunos de los resultados más interesantes de las últimas décadas se refieren a casos relativamente particulares. La teoría de las “teorías O-minimal” (teoría o-minimal – Wikipedia) toma una de las propiedades de los números reales que hace posible resolver sistemáticamente problemas en geometría elemental, y luego se generaliza en base a eso. De todas las teorías que ves, solo una pequeña minoría son O-minimal. Pero entonces uno tiene una buena teoría de eso.
