La definición estándar ya se ha dado en otras respuestas. Me gustaría dar una definición equivalente que, en mi opinión, hubiera sido mejor que la definición con la que parecemos estar atrapados.
Un número primo [matemático] p [/ matemático] es cualquier número entero (que no sea 0, 1 y -1) tal que, para todos los enteros [matemático] m, n [/ matemático], si divide el producto [matemático] mn [/ math], entonces debe dividir [math] m [/ math] o [math] n [/ math].
Personalmente, creo que está más claro por qué excluimos 1, 0, -1 en esta definición: 0 no divide ningún número entero (aparte de sí mismo), mientras que 1 y -1 dividen cada número entero. En resumen, no dan ninguna información interesante.
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Por cierto, para objetos algebraicos más generales que los enteros (específicamente, anillos conmutativos), así es como se generaliza la definición de número primo.
EDITAR:
Llegué a la conclusión de que sería bueno dar una definición de lo que significa “a divide b”, ya que hay algunos conceptos erróneos sobre este punto. En particular, no es lo mismo que decir “b / a está definido”.
Primero, especificamos en qué anillo [matemática] R [/ matemática] estamos trabajando (en términos generales, cuál es nuestra estructura algebraica de interés). En nuestro caso, esos son los enteros, denotados como [math] \ mathbb {Z} [/ math], por lo que si no está familiarizado con los anillos, simplemente reemplace [math] R [/ math] con [math] \ mathbb {Z } [/ math] en la siguiente explicación.
Si [matemática] a, b [/ matemática] están en [matemática] R [/ matemática], decimos que [matemática] a [/ matemática] divide [matemática] b [/ matemática] si hay algún elemento [matemática] c [/ math] en [math] R [/ math] con la propiedad que [math] b = ac [/ math].
Entonces, por ejemplo, en los enteros, [matemática] 2 [/ matemática] divide [matemática] 6 [/ matemática] ya que [matemática] 2 \ cdot 3 = 6 [/ matemática]. Sin embargo, [matemática] 3 [/ matemática] no divide [matemática] 5 [/ matemática] ya que no hay un entero [matemática] c [/ matemática] tal que [matemática] 3c = 5 [/ matemática].
De esta definición, se deduce que [matemática] 0 [/ matemática] divide [matemática] 0 [/ matemática]. Esto se debe a que [math] 0 = 0 \ cdot 1 [/ math]. Sin embargo, esto no significa que [math] 0/0 [/ math] esté definido.
De hecho, ¿qué significa [matemáticas] b / a [/ matemáticas]? Cuando se define, significa el elemento único [math] c [/ math] con la propiedad que [math] b = ac [/ math]. Sin embargo, si bien hay un elemento con la propiedad de que [math] 0 = 0 \ cdot c [/ math], ese elemento no es único: hay todo tipo de opciones para ello.
