Otros han abordado por qué esto no está definido, pero ninguno ha abordado adecuadamente el comportamiento de [matemáticas] (- 1) ^ {x} [/ matemáticas].
Usando la identidad de Euler, puede reescribir el límite de [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} (-1) ^ {x} [/ math] como [math] \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ {i \ pi.x} [/ math]. El valor de [math] e ^ {i \ pi.x} [/ math] es real donde [math] x \ in \ mathbb {Z} [/ math]. Podemos mostrar esto usando el teorema de De Moivre. (sabrás cómo mostrarlo solo con manipulación algebraica, así que lo condimentaré)
[matemáticas] \ displaystyle e ^ {i \ pi.x} = (e ^ {i \ pi}) ^ x = (i. \ sin (\ pi) + \ cos (\ pi)) ^ x = i. \ sin (x. \ pi) + \ cos (x. \ pi) [/ math]. Donde [math] x [/ math] es impar, [math] \ sin (x \ pi) = 0 [/ math], [math] \ cos (x \ pi) = -1 [/ math], entonces obtenemos [matemáticas] (- 1) ^ {x} = 0i – 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Donde [math] x [/ math] es par, [math] \ cos (x \ pi) = 1 [/ math] y [math] \ sin (x \ pi) = 0 [/ math], entonces tenemos [ matemáticas] (- 1) ^ {x} = 0i + 1 [/ matemáticas], o 1.
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Ah, pero lo que sucede donde [matemáticas] x [/ matemáticas] no es un número entero. Bueno, [matemáticas] \ Im [(- 1) ^ {x}] = \ Im [e ^ {i \ pi.x}] \ neq 0 [/ matemáticas], lo que significa que estamos tratando con números complejos. (en otras palabras, [matemática] e ^ {i \ pi.x} \ in \ mathbb {C} \ forall x \ not \ in \ mathbb {Z} [/ math])
Esto significa que si trazara [math] y = (- 1) ^ {x} [/ math] con el sistema de coordenadas cartesianas, solo encontrará puntos donde [math] x \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]. El resto del punto no son números reales. Si lo trazamos con tres ejes, [matemática] \ Re [(- 1) ^ {x}] [/ matemática], [matemática] \ Im [(- 1) ^ {x}] [/ matemática] y [matemática ] x [/ math], veremos una forma de espiral que es difícil de replicar aquí. Intentaré encontrar una imagen en línea una vez que haya terminado de escribir esta respuesta. Si está confundido, recuerde que las funciones circulares seno y coseno “se repiten”, por así decirlo, cada [matemática] 2 \ pi [/ matemática].
Ahora que he discutido el comportamiento de [matemáticas] (- 1) ^ {x} [/ matemáticas], ahora responderé a su pregunta. Si está buscando el límite como [math] x \ to \ infty [/ math], entonces podemos decir,
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} (-1) ^ {x} = \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ {i \ pi.x} = \ lim_ {x \ to \ infty } i. \ sin (x \ pi) + \ cos (x \ pi) [/ math]. Esto diverge, y no se acerca a un valor específico, para usar los términos de Layman. Si miras el gráfico, tal vez eso pueda ayudarte a visualizarlo.
TL; DR: no está definido, ni el límite de [math] (- 1) ^ {x} [/ math] como [math] x \ to \ infty [/ math].
Busqué y encontré esta pregunta, con muchos gráficos buenos que pueden ayudarte a visualizar por qué esto diverge.
Editar para mayor claridad: estoy considerando las raíces principales. Digo esto porque, de lo contrario, estamos tratando con múltiples valores. Disculpas por no aclarar esto inicialmente.
