Los fundamentos de las matemáticas no son simplemente axiomas sino la lógica misma.
Los axiomas generalmente se toman para una teoría matemática particular. Por ejemplo, tiene los axiomas de la geometría establecidos por primera vez por Euclides hace 2300 años, y están los axiomas Dedekind-Peano de la teoría de números establecidos hace 130 años. Hay axiomas para grupos, y axiomas para campos, y axiomas para teoría de conjuntos.
Ese último, axiomas para la teoría de conjuntos, es interesante.
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La teoría de conjuntos fue desarrollada por Dedekind y Cantor hace unos 130 años, y Frege la vio como una forma de codificar la lógica. Hilbert fue un defensor de la teoría de conjuntos y, debido a que codificaba la lógica, pensó que podría ser una base de todas las matemáticas. Si es así, entonces los axiomas de la teoría de conjuntos serían la respuesta completa a su pregunta.
Sin embargo, existen diferentes teorías de conjuntos con diferentes axiomas, y algunos de los teoremas que son válidos en esas teorías de conjuntos son diferentes. La mayoría de sus axiomas son iguales, y la mayoría de los teoremas demostrables en ellos son iguales, pero algunos no lo son. El primer axioma de contención es el axioma de elección. A veces se incluye, a veces no, y a veces se incluye un axioma diferente que es contrario al axioma de elección. Si incluye el axioma de elección, existen otros axiomas que puede querer o no incluir. Podría hacer la declaración de la hipótesis del continuo un axioma si lo desea, o no si no lo desea. Y no se detiene ahí.
Pero incluso si usa algún tipo de teoría de conjuntos, todavía está utilizando la lógica para probar cosas en esa teoría de conjuntos. La lógica sigue siendo la base de las matemáticas.
A partir del siglo XX, la teoría de categorías se ha utilizado como alternativa para establecer la teoría como base de las matemáticas.
Además, algunos matemáticos usan una lógica diferente, lógica intuicionista, por lo que incluso el tipo de lógica que uno usa es una elección. En la lógica clásica, puede apegarse a la lógica de primer orden, o puede recurrir a la lógica de orden superior.
Los fundamentos de las matemáticas son más variados de lo que piensas, y en el futuro, dentro de cientos de años, puede haber fundamentos diferentes que no hemos concebido.
