¿Cómo se resuelve para [matemáticas] x [/ matemáticas] en [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = 2 [/ matemáticas]?

Cuando se enfrenta con el infinito, este tipo de truco a menudo funciona.

Deje S = x ^ (x ^ (x ^ …))). Tenga en cuenta que podemos agregar otro término x ^ sin cambiar el valor, ya que hay infinitos. Es decir,
S = x ^ S.
Se nos da que S = 2, de modo que 2 = x ^ 2, x = sqrt (2). (Asumimos que S existe y es único, por lo que técnicamente es una condición previa de nuestra respuesta).

Podemos usar este truco con infinito en muchos casos:
.
Por ejemplo, 0.999 … = 1.
S = 0.999 …
S = 10 S – 9
S = 1.

Por otro lado, sea S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
Vemos eso
2 S = 1+ S.
S = 1.

Yo llamo a este truco el ‘cambio infinito’. Si observa la suposición oculta de existencia y singularidad, realmente puede simplificar las cosas.

[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}}} = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ log x ^ {x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}}} = \ log 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}}} \ log x = \ log 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ log x = \ log 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ log x = \ frac {1} {2} \ log 2 = \ log 2 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {2} [/ matemáticas].

Además, no está funcionando en su calculadora porque la está evaluando incorrectamente. En matemáticas, [matemáticas] x ^ {y ^ z} [/ matemáticas] se entiende como [matemáticas] x ^ {(y ^ z)} [/ matemáticas], no [matemáticas] (x ^ y) ^ z [ /matemáticas]. Por ejemplo, [matemáticas] 3 ^ {3 ^ 3} = 3 ^ {(3 ^ 3)} = 3 ^ {27} = 7625597484987 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ {3 ^ 3} \ ne ( 3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683 [/ matemáticas].

EDITAR: Uno de los comentarios para esta pregunta fue bastante legítimo, así que estoy editando la respuesta para responderla aquí también. La pregunta era ‘¿cómo sabemos que la tetración infinita [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}} [/ matemáticas] converge en primer lugar?’

Resulta que [matemática] x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}} [/ matemática] converge cuando [matemática] x [/ matemática] está entre [matemática] e ^ {- e} [/ matemática] y [ matemática] e ^ {\ frac {1} {e}} [/ matemática], aproximadamente entre [matemática] x = 0.065988 [/ matemática] y [matemática] x = 1.444668 [/ matemática]. Este resultado fue descubierto por Euler. Dado que [math] \ sqrt {2} [/ math] está (solo) dentro de este rango, [math] x ^ {x ^ {x ^ \ cdots}} [/ math] converge cuando [math] x = \ sqrt { 2} [/ matemáticas]. En el argumento anterior, mostré que el límite de esta tetración es [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Dado:
[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = 2 [/ matemáticas]…. (1)

Tome el registro de ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] log_2 x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = log_2 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} \ veces log_2 x = 1 [/ matemáticas]

Usando (1)
[matemáticas] 2 log_2 x = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 2 ^ {1/2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] x = \ sqrt 2 [/ math] es la única respuesta real posible.

La verificación es muy importante. La razón es que la serie podría ser divergente y debemos demostrar que no lo es.

Definamos la serie [math] a_0, a_1, .. a_n [/ math], de modo que [math] a_0 = \ sqrt 2 [/ math] y [math] a_n = \ sqrt 2 ^ {a_ {n-1 }}[/matemáticas].

Tenemos que demostrar que la serie está limitada por 2, es decir, [math] a_n <2 [/ math] para todo n. Prueba por inducción:
[matemáticas] a_0 = \ sqrt 2 <2 [/ matemáticas]. Entonces el caso base es cierto. Suponga que [math] a_n <2 [/ math]. [matemáticas] a_ {n + 1} = \ sqrt 2 ^ {a_n} <\ sqrt 2 ^ 2 = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, demostró que la serie está limitada por 2.

Aquí se explica cómo obtener la respuesta, que se muestra a continuación en una imagen que creé el año pasado:

1. Recuerde que toda su expresión X es igual a 2.
2. Recuerde que esta expresión X continúa para siempre, más y más arriba y a la derecha, sin fin.

1. Es el hecho de que esta cadena de exponentes no se detiene lo que nos permite responder a esta pregunta.

Agregue una X más al final de su expresión X. Escríbelo en un color diferente.

1. Recuerda que la expresión completa escrita en el primer color es igual a 2. (Ignora mi tontería donde olvidé cambiar 4 a 2).
2. Recuerde que toda la expresión, incluidos ambos colores, también es igual a 2.
3. Cambia todas las X del primer color al valor real de esa torre infinita.

Terminamos con la ecuación X² = 2 que es fácil de resolver. ¿Qué obtuviste?

Asegúrese de verificar su respuesta. Un método para hacerlo se muestra en la esquina inferior derecha de mi imagen.

Aquí hay un suplemento rápido a la respuesta de David Joyce. ¿Cómo podemos determinar qué valores de [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {\ ldots}}} [/ matemáticas] convergen?

Supongamos que converge a alguna [matemática] y [/ matemática] para alguna [matemática] x> 0 [/ matemática]. Luego:
[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {\ ldots}}} = y [/ matemáticas]

Y la continuidad de la función de registro asegura que este límite también se mantenga:
[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {\ ldots}}} \ ln x = \ ln y [/ matemáticas]

La división por [math] \ ln x [/ math] también conserva el límite ya que [math] x> 0 [/ math]:
[matemáticas] y = x ^ {x ^ {x ^ {\ ldots}}} = \ frac {\ ln y} {\ ln x} [/ matemáticas]

Ahora que no tenemos más límites de los que preocuparnos, podemos hacer el álgebra:
[matemáticas] \ ln x = \ frac {\ ln y} {y} [/ matemáticas]

O:
[matemáticas] \ ln x = \ ln \ izquierda (y ^ {\ frac 1 y} \ derecha) [/ matemáticas]

O:
[matemáticas] x = y ^ {\ frac 1 y} [/ matemáticas]

Ahora considere la función [matemáticas] y ^ {\ frac 1 y} [/ matemáticas]. Algunos cálculos diferenciales básicos nos muestran que esta función se maximiza para [math] y = e [/ math]. (De hecho, el hecho de que [matemática] e [/ matemática] maximiza la [matemática] \ sqrt [x] x [/ matemática] es una forma poco convencional de definir [matemática] e [/ matemática].) Se muestra el gráfico al final por motivación.

Como [math] x = y ^ {\ frac 1 y} [/ math] y el lado derecho está delimitado desde arriba por [math] e ^ {\ frac 1 e} [/ math], vemos que
[math] x \ in (0, e ^ {\ frac 1e}] [/ math] SI el límite existe. Además, sabemos que estos valores de [math] x [/ math] que pueden conducir a un límite finito deben dar un valor límite para [matemática] y [/ matemática] en el intervalo [matemática] [0, e] [/ matemática].

En realidad, no hemos demostrado que el límite exista, pero este análisis nos dice cómo averiguar qué valores de [matemática] x [/ matemática] e [matemática] y [/ matemática] incluso tiene sentido preguntar . Y un poco más de trabajo para ajustar el análisis da convergencia para estos valores de [matemática] x [/ matemática].

Ninguna de las respuestas aquí realmente hace esta justicia completa.

En realidad hay dos preguntas aquí. La primera es: ¿por qué su calculadora le da un resultado mayor que 2?

La razón de esto es por el corchete de los exponentes . La exponenciación no es asociativa , lo que significa que, en general

[matemáticas] a ^ {(b ^ c)} \ ne (a ^ b) ^ c [/ matemáticas]

siempre que ambos estén definidos. Por ejemplo, [matemáticas] 2 ^ {(3 ^ 4)} = 2 ^ 81 \ aprox 2.4 \ veces 10 ^ {24} [/ matemáticas], pero [matemáticas] (2 ^ 3) ^ 4 = 8 ^ 4 = 4096 [/ matemáticas].

Compare esto con la suma y la multiplicación: para todos los números reales [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas], tenemos las siguientes propiedades

[matemáticas] (a + b) + c = a + (b + c) [/ matemáticas]
[matemáticas] (ab) c = a (bc) [/ matemáticas].

Estas se llaman leyes asociativas. Si su torre de exponentes está entre corchetes como [matemáticas] \ left (\ left (… \ left (x ^ x \ right) ^ x… \ right) ^ x \ right) ^ x [/ math], no obtendrá el mismo resultado que [math] x ^ {(x ^ {(x ^ {(… ^ {(x ^ x)}…)})})} [/ math]. Entonces, las torres infinitas también serán diferentes, de hecho, la primera diverge, mientras que la segunda converge. En realidad, es el segundo corchete al que nos referimos cuando decimos [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {…}}}}} [/ matemáticas]. Esto es lo que te has equivocado en tu calculadora. Esta es una convención matemática: la definición de la notación.

La segunda pregunta es: ¿por qué esta torre converge a [matemáticas] 2 [/ matemáticas]? Para responder eso, necesitaremos hacer un poco de análisis.

Primero, necesitamos una definición precisa de lo que [matemática] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {…}}}} [/ matemática] significa para un “número infinito de [matemática] x [/ matemática] s” . La respuesta es que se define, como una suma infinita, como un límite :

[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {…}}}}} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n [/ math]

donde la secuencia [math] a_n [/ math] está definida por [math] a_0 = 1 [/ math] y [math] a_n = x ^ {a_ {n-1}} [/ math].

Ahora necesitamos mostrar que este límite existe y que es igual a 2 cuando [math] x = \ sqrt {2} [/ math]. Lo primero que mostramos es que si este límite existe, entonces es igual a un punto fijo de la función exponencial . Es decir, si el límite es [matemática] L [/ matemática], entonces [matemática] x ^ L = L [/ matemática]. Para hacer esto, consideramos la secuencia

[matemáticas] b_n = x ^ {a_n} – L [/ matemáticas].

Encontramos que el límite de [math] b_n [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] viene dado por

[matemáticas] \ begin {align} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} b_n & = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (x ^ {a_n} – L) \\ & = \ left (\ lim_ {n \ flecha derecha \ infty} x ^ {a_n} \ right) – L \\ & = L – L \\ & = 0. \ end {align} [/ math]

Entonces, el límite de la secuencia es 0. Debido a que la función [matemática] f (a) = x ^ a – a [/ matemática] es continua, entonces tiene un valor en [matemática] a = L [/ matemática] y esto el valor es 0. Por lo tanto, dado que [matemática] x ^ a = f (a) + a [/ matemática], [matemática] x ^ L = L [/ matemática] y [matemática] L [/ matemática] es un punto fijo .

Ahora, mostramos que 2 es un punto fijo de [math] \ sqrt {2} ^ x [/ math]. Esto es realmente simple:

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ 2 = \ sqrt {2} \ sqrt {2} = 2 [/ matemáticas].

Finalmente, necesitamos mostrar que la secuencia [math] a_n [/ math] con [math] x = \ sqrt {2} [/ math] converge a este punto fijo. Haremos esto mediante el uso del teorema de convergencia monótono acotado , que dice que si una secuencia es monotónica aumentando o disminuyendo (es decir, nunca baja o nunca sube por encima de ninguno de sus valores anteriores), entonces tiene un límite. Si la secuencia es monotónica creciente, el límite es el límite superior o menos superior de la secuencia. Si [math] a_n [/ math] es una secuencia, entonces [math] s [/ math] es su supremum si [math] a_n \ le s [/ math] para todos [math] n [/ math] y hay sin número [math] t

Para mostrar que la secuencia es monótona y está limitada anteriormente, utilizaremos un argumento de inducción. Para el caso base, mostramos que [math] a_0

Para la hipótesis inductiva, dejamos que [math] n [/ math] sea un entero al menos 2 y supongamos que [math] a_ {n-2}

Para el paso inductivo, primero debemos usar que [math] \ sqrt {2} ^ x [/ math] está aumentando estrictamente, lo que puede mostrarse nuevamente mediante un argumento de diferenciación. Por lo tanto, si [math] a

[matemáticas] a_ {n-2}

entonces

[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {a_ {n-2}} <\ sqrt {2} ^ {a_ {n-1}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {a_ {n -1}} <\ sqrt {2} ^ 2 [/ math].

Pero la primera desigualdad se convierte en [matemática] a_ {n-1}

Por lo tanto, la secuencia está limitada anteriormente por 2 y el monótono aumenta, por lo que según el teorema mencionado tiene un límite. Sabemos desde antes que este límite debe ser un punto fijo, pero en realidad hay dos: 4 es otro punto fijo. Pero 4 es mayor que 2, y converge al supremum. Como 4 es mayor que 2 y ambos son límites superiores, 4 no es el supremum, el menor de los límites superiores. Por lo tanto, el único otro punto fijo que podría ser tendría que ser 2. ¡Entonces converge a 2!

Si [math] \ displaystyle y = x ^ {x ^ {x ^ {…}}}, [/ math] entonces [math] y = x ^ y. [/ Math] (¿Por qué? Sustituya [math] y [/ matemática] para el exponente en el lado derecho de la ecuación.)

Eso significa que estamos buscando un valor de [math] x [/ math] tal que [math] 2 = x ^ 2. [/ Math] El único número positivo [math] x [/ math] con esa propiedad es [ matemáticas] x = \ sqrt2. [/ matemáticas]

¿Funciona [math] x = \ sqrt2 [/ math]? Haga una tabla y vea si los poderes iterados de [math] x = \ sqrt2 [/ math] se aproximan a 2.

[matemáticas] \ sqrt2 = 1.41421 … [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt2 ^ {\ sqrt2} = 1.63252… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt2 ^ {\ sqrt2 ^ {\ sqrt2}} = 1.76083… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt2 ^ {\ sqrt2 ^ {\ sqrt2 ^ {\ sqrt2}}} = 1.84091… [/ matemáticas]

Parece que estos números pueden estar acercándose a 2. Esto no es suficiente evidencia para llegar a una conclusión segura, pero con un poco de trabajo puede construir una prueba formal de que estos poderes iterados sí se acercan a 2.

Adenda

Ha habido un par de preguntas que han surgido en los comentarios sobre las diferentes respuestas a la pregunta. Una es sobre el orden de las operaciones, la segunda sobre el significado de una torre infinita de exponentes.

Orden de operaciones

La expresión [math] \ displaystyle a ^ {b ^ c} [/ math] cuando está completamente entre paréntesis es [math] \ displaystyle a ^ {(b ^ c)}. [/ Math] Es decir, la exponenciación se asocia a la derecha. Eso es diferente a la mayoría de las operaciones que incluyen suma, resta, multiplicación y división que se asocian a la izquierda. Por ejemplo, [math] abc [/ math] cuando está completamente entre paréntesis es [math] (ab) -c. [/ Math]

El significado de una expresión cuando hay un número infinito de operaciones.

Estas expresiones siempre implican límites. Tomemos, por ejemplo, la suma infinita, llamada serie ,

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ cdots \ frac1 {2 ^ n} + \ cdots [/ math]

El valor [math] S [/ math] de esta expresión es el límite de sus expresiones parciales

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ cdots \ frac1 {2 ^ n} \ right) [/ math]

siempre que ese límite exista, y en este ejemplo sí, a saber [matemáticas] S = 2. [/ matemáticas]

Considera la exponenciación infinita

[matemáticas] \ displaystyle x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}} [/ matemáticas]

Su valor es el límite de sus expresiones parciales.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} (x ^ {x ^ {\ cdots ^ x}}) = \ lim_ {n \ to \ infty} (x \ uparrow \ uparrow n) [/ math]

siempre que ese límite exista.

La operación [matemática] \ displaystyle x ^ {x ^ {\ cdots ^ x}} [/ matemática] con n x ‘s, indicada como [matemática] {} ^ nx [/ matemática] o [matemática] x \ uparrow \ uparrow n [/ math] o varias otras notaciones, a veces se llama tetración. Vea también el artículo wiki sobre hiperoperación.

Este límite, [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} (\ sqrt2 \ uparrow \ uparrow n) [/ math] existe, y es igual a 2.

Tu confusión está bien, porque
[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas]
por sí solo no está bien definido.

Puede ser una de las siguientes dos secuencias:
1. [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(x_ {n-1})} ^ {\ sqrt {2}}, n = 1,2,… [/ matemáticas]

2. [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(\ sqrt {2})} ^ {x_ {n-1}}, n = 1,2,… [/ matemáticas]

La secuencia 1 diverge al infinito, y la secuencia 2 converge a 2.

Microsoft y Matlab usan la definición 1. Los siguientes ejemplos muestran los primeros términos de
[matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas]
calculado por MS Excel y Matlab.

Comentarios adicionales:

Esta respuesta tenía la intención de transmitir los siguientes tres puntos clave:

1. No existe una convención “universalmente aceptada” para x ^ x ^ x, ver Orden de operaciones.

2. La expresión [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas] en sí misma sin calificación es ambigua. ver http://www.quora.com/If-xxx-2-then-x/answer/Alejandro-Jenkins/comment/7019830?srid=zxo3&share=1 .

3. La secuencia infinita [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(x_ {n-1})} ^ {\ sqrt {2}}, n = 1,2, … [/ math] es una definición más natural o intuitiva para la expresión [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ math] que secuencia infinita [math] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(\ sqrt {2})} ^ {x_ {n-1}}, n = 1,2, … [/ math] es.

Para elaborar más sobre el # 3 anterior, veamos por qué es más intuitivo definir [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas] como la secuencia [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(x_ {n-1})} ^ {\ sqrt {2}}, n = 1,2, … [/ matemática]. Para este fin, usamos la “convención” de que el orden de las operaciones es de izquierda a derecha para la exponenciación. Al utilizar el orden de las operaciones de izquierda a derecha, [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ math] se divide primero en los términos, [matemáticas] \ sqrt2, \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}, \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}} [/ math]. Observe cómo se obtienen los términos de [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ math] agrupando exponentes de izquierda a derecha. Después de esta agrupación, la exponenciación en cada término se evalúa por el orden de izquierda a derecha. La secuencia resultante es [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(x_ {n-1})} ^ {\ sqrt {2}}, n = 1,2, … [/ matemática].

Por otro lado, para definir [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas] como la secuencia infinita [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(\ sqrt {2})} ^ {x_ {n-1}}, n = 1,2, … [/ math], se deben usar dos órdenes de operaciones en conflicto. Primero, como se describió anteriormente, la expresión [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas] se divide en términos [matemáticas] \ sqrt2, \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}, \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}}} [/ math] operando desde la IZQUIERDA. Luego, la exponenciación en cada término se evalúa operando desde la DERECHA.

En otras palabras, uno debe aplicar dos órdenes de operaciones en conflicto para definir [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ {…}}} [/ matemáticas] como secuencia infinita [matemáticas] x_0 = \ sqrt {2}; x_n = {(\ sqrt {2})} ^ {x_ {n-1}}, n = 1,2, … [/ matemática]. Es muy confuso y anti-intuitivo.

Una de las formas de resolver esto es la siguiente. Esta es solo una forma de resolver esas ecuaciones en la escuela secundaria:

Consideremos y = x ^ x ^ x… ————–> ecuación1
Entonces, de acuerdo con la ecuación dada (en la pregunta), y = 2
La ecuación 1 también se puede escribir como y = x ^ y —————> ecuación2
Por lo tanto, 2 = x ^ 2 . Obtenemos esto por sustitucióng y = 2
Por lo tanto x = raíz cuadrada (2)

Puede ser más o menos. Podemos derivar el signo dibujando un gráfico como se menciona en otras respuestas.

Deje que [matemáticas] {f (x)} [/ matemáticas] = [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {…}}}} [/ matemáticas]

Lo que implica [matemáticas] f (x) = 2 [/ matemáticas]

y también [matemáticas] x ^ {f (x)} = 2 [/ matemáticas]

Poniendo las dos ecuaciones anteriores juntas,

[matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Otra forma de verlo:

Dado:
x ^ x ^ x ^ .. = 2 (1)

Si pones un paréntesis después de la primera x tenemos:
x ^ (x ^ x ^ x ^ x…) = 2

El term dentro del paréntesis también es igual a 2 debido a (1).
Entonces:
[matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ sqrt 2. [/ matemáticas]

Primero debemos contemplar cómo se evalúa la expresión [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {\ dots}}} [/ matemáticas].

Convencionalmente, definimos la exponenciación como una operación de derecha a izquierda, lo que significa, por ejemplo, [matemáticas] 2 ^ {2 ^ 3} = 2 ^ 8 = 256 [/ matemáticas]. En cuanto a por qué este es el caso, podemos ver el ejemplo [matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {bc} [/ matemáticas]. Si los exponentes se evaluaran de izquierda a derecha, esto sería equivalente a [matemática] a ^ {b ^ c} [/ matemática], lo que significaría cada exponente de varias capas [matemática] x ^ {y ^ z} [/ math] podría simplificarse como [math] x ^ {yz} [/ math], lo que sería inútil.

En cualquier caso, el problema original busca la solución para [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {\ puntos}}} = 2 [/ matemáticas]. Para mayor claridad (aunque esto está lejos de ser necesario), podemos reescribir esta ecuación como

[matemáticas] x ^ {\ left (x ^ {x ^ {\ cdots}} \ right)} = 2 [/ matemáticas].

Puede notar que ahora tenemos [math] x [/ math] elevado a la expresión original inalterada, que TAMBIÉN fue igual a [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, podemos hacer la siguiente sustitución:

[matemáticas] x ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

Ahora tenemos una ecuación cuadrática simple con dos soluciones: [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] y [matemática] – \ sqrt {2} [/ matemática]. ¿Ambos son aceptables? Bueno, las pruebas iterativas revelan que con [math] x = \ sqrt {2} [/ math], [math] x ^ {x ^ {x ^ {\ dots}}} [/ math] se aproxima a [math] 2 [ /matemáticas]. Mirar inmediatamente la segunda opción debería ayudarnos a descartarla: la primera iteración es compleja y sabemos que la función exponencial es periódica para valores complejos. Por lo tanto, no puede acercarse a [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y nuestra única solución es

[matemáticas] \ en caja {x = \ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Creo que en esta era de poderosas computadoras de escritorio e incluso teléfonos de mano, particularmente Android basado en Linux, que brinda acceso a wxmaxima, la adaptación de Macsyma para muchas personas. Está disponible como una aplicación gratuita para los usuarios de Android, y como un paquete gratuito para casi cualquier distribución de Linux.

Una vez que tengamos esa maquinaria disponible, las “torres de energía” como las llamo están al alcance para evaluar y graficar.

Primero, una definición reductiva de [matemáticas] f_ {k} (x) [/ matemáticas]
primero
[matemáticas] f_ {0} (x) = x [/ matemáticas]
Luego
[matemáticas] f_ {k} (x) = x ^ {f_ {k-1} (x)} [/ matemáticas]

Como casos especiales tenemos
[matemáticas] f_ {2} (x) = x ^ {x ^ x} [/ matemáticas]

y
[matemáticas] f_ {3} (x) = x ^ {x ^ {x ^ x}} [/ matemáticas]

Con estos símbolos establecidos, la pregunta es qué pasa con
[math] f_ {n} (\ sqrt {2}) [/ math] ya que n tiende a [math] \ infty [/ math]

Si investigamos la cuestión de cuál podría ser el límite, debe ser una solución de
[matemáticas] x ^ y = y [/ matemáticas]
Eso a su vez significa que
[matemáticas] x = y ^ {1 / y} [/ matemáticas]
Hay algunas soluciones obvias de esta ecuación.
[matemáticas] (x, y) = (\ sqrt {2}, 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x, y) = (e ^ {1 / e}, e) [/ matemáticas]
De hecho, si grafica la función inversa obtendrá un pico en e.

Usando wxmaxima y herramientas similares, estas funciones se pueden graficar. Por ejemplo, puede representar gráficamente [math] f_ {100} (x) [/ math] y [math] f_ {500} (x) [/ math] para x de 1 a [math] e ^ {1 / e} [/ math] en el mismo gráfico y la tendencia es fácil de ver.

Moraleja: la tecnología te puede liberar.

Más un apéndice que una respuesta. Busqué las respuestas aquí para ‘Lambert’ y me sorprendió no verlo. ¡Qué parodia! Aquí hay algunos datos sobre el primer gran matemático en considerar esta clase de problema.

“Lambert fue la primera persona en demostrar que pi es irracional”.
‘Las epidemias, como el Ébola, se pueden modelar utilizando la función Lambert’.
‘Lambert desarrolló geometría no euclidiana mucho antes que Bolyai y Lobachevsky’
“Lambert nació como hijo de un sastre, y su padre esperaba que continuara en esa profesión”.
“La temprana lucha de Lambert por su educación es una historia notable: tuvo que vender dibujos y escritos a sus compañeros de clase para comprar velas para el estudio nocturno”,
«Lambert influyó en la higrometría, pirometría, matemática pura y estadística».
‘Lambert era más famoso como filosofía que como matemático’,
‘La proyección de Lambert todavía está en uso en cartografía’,
‘Lambert encontró una solución en serie para la ecuación trinomial, mediante cálculo manual’.
“La técnica de Lambert para resolver las técnicas generales de reversión de series fue un precursor del Teorema de inversión de Langrange”.
‘Lambert descubrió una expresión para x elevada a sí misma un número arbitrario de veces’.
«La función Lambert se utiliza para el análisis de estabilidad de las ecuaciones diferenciales de retardo».
‘La función Lambert se puede usar para contar árboles enraizados y etiquetados’,
‘La función Lambert se usa para modelar el movimiento del agua en el suelo’,
‘La función Lambert resuelve la ley de desplazamiento de Wiens’.
‘Los estudios de combustión utilizan la función de Lambert’.
“La cantidad de combustible consumida por un avión comercial puede ser modelada por la función Lambert”.
‘La función Lambert se ha utilizado para estudiar los niveles de educación, y el juego 2048’,
“Sorprendentemente, nadie ha demostrado que la función de Lambert no sea elemental, es decir, construida a partir de un número finito de exponenciales, logaritmos, constantes y enésimas raíces”.
‘Lambert fue el primero en conjeturar que pi y e son trascendentales’.
‘El teorema de Lambert establece que la trayectoria de rotación de un triángulo tangente de parábola pasa a través del foco de parábolas. El gran matemático Langrange declaró que el descubrimiento geométrico de Lambert fue el resultado más hermoso en las órbitas cometarias que había visto en su vida.

Estamos trabajando con límites, aquí. Entonces, resolvamos:

[matemáticas] \ lim {x ^ {x ^ {x ^ {x ^ {\ cdots}}}}} = n \ por lo tanto x ^ n = n \ por lo tanto x = n ^ {\ frac {1} {n}} [/matemáticas]

Para [math] x \ in ℕ ^ * \ Rightarrow x = \ sqrt [n] {n} [/ math]

(Ignoraré los resultados negativos incluso en [matemática] n [/ matemática], ya que implicará resultados complejos para cualquier otra [matemática] n [/ matemática]. ¡Quedémonos … reales! 😉

Entonces, para los valores naturales no nulos ([matemática] ℕ ^ * [/ matemática]) de [matemática] n [/ matemática] la solución para [matemática] x [/ matemática] incluye [matemática] 1 [/ matemática] ( bastante obvio), [math] \ sqrt [2] 2, \ sqrt [3] 3, \ sqrt [4] 4, \ sqrt [5] 5, \ cdots [/ math].

---

EDITAR: Vamos a explorar [matemáticas] x = n ^ {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas] un poco más:

También,
[matemáticas] \ displaystyle n = 0 \ rightarrow \ lim_ {n \ to {0}} {n ^ {\ frac {1} {n}}} = 0 [/ math]
(Volveré a esto)

Sobre las asíntotas:

Deje [math] \ displaystyle x = n ^ {\ frac {1} {n}} [/ math]

Dejemos encontrar su derivada:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln {x} = \ ln {\ left (n ^ {\ frac {1} {n}} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ ln {x} = {\ frac {1} {n}} \ ln {(n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {x} x ‘= \ left (- {\ frac {1} {n ^ 2}} \ ln {(n)} + {\ frac {1} {n}} \ times \ frac {1} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {x} x ‘= \ frac {1 – \ ln {(n)}} {n ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x ‘= \ left ({\ frac {1 – \ ln {(n)}} {n ^ 2}} \ right) x = \ left ({\ frac {1 – \ ln {(n )}} {n ^ 2}} \ right) n ^ {\ frac {1} {n}} [/ math]

Entonces tenemos ceros cuando:

[matemática] 1 – \ ln {(n)} = 0 \ por lo tanto n = e [/ matemática] y [matemática] x = e ^ {\ frac {1} {e}} [/ matemática]; esto es un máximo;

[matemática] n ^ {\ frac {1} {n}} \ a 0 \ por lo tanto x \ a 0 [/ matemática];

[matemáticas] n ^ 2 \ a \ infty \ por lo tanto \ frac {1} {n ^ 2} \ a 0 \ por lo tanto x \ a 1 [/ matemáticas]; [matemática] n = 1 [/ matemática] es asíntota.

Esa pregunta solo es válida para x = √2.
Así es cómo,
Esa es la forma más fácil de resolver en comparación.
Lo escribí esperando que necesites la respuesta p, no el valor de x. De lo contrario, x = p ^ 1 / p o, x = 2 ^ (1/2)

Al aplicar el registro en ambos lados, esto se puede resolver fácilmente.

DADO = x ^ x ^ x ^ x ^ x …… = 2

=> (x ^ x ^ x ^ x… ..) log x = log 2

Desde log 2 a la base 2 = 1

=> (x ^ x ^ x ^ x ……) * log x = 1

Pero dado que x ^ x ^ x ^ x = 2

=> 2 * log x = 1

Desde 2 * 1/2 = 1

=> log x (a la base 2) = 1/2

=> x = 2 ^ (1/2)

=> x = √2

x = √2

Solución 1:
x ^ x ^ x ^ x ^ x… = 2
=> x ^ (x ^ x ^ x ^ x…) = 2
=> x ^ (2) = 2
=> x = √2

Solución 2:
x ^ x ^ x ^ x ^ x… = 2
=> (x ^ x ^ x ^ x…) * log (x) = log (2)
=> 2 * log (x) = log (2)
=> log (x) = [log (2)] / 2
=> log (x) = log (√2)
=> x = √2

[matemáticas] \ text {Dado} \ espacio x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {tomando el registro de la base 2 en ambos lados} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log_2 x ^ {x ^ {x ^ {…}}} = \ log_2 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {x ^ {x ^ {…}}} \ log_2 x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ log_2 x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log_2 x = \ dfrac 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 ^ {\ dfrac 12} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ bbox [#FFA] {\ boxed {x = \ sqrt 2}} [/ math]

[matemáticas] \ text {Significa que} [/ matemáticas]

[matemática] \ en caja {\ sqrt 2 ^ {\ sqrt 2 ^ {\ sqrt 2 ^ {…}}} = 2} [/ matemática]