¿Es la prueba por inducción una gran estafa en matemáticas?

Sería una estafa si no funcionara, pero funciona perfectamente. No dejes que las manivelas te digan lo contrario.

Sea [math] N [/ math] el conjunto de números naturales, y sea [math] 0 [/ math] un elemento de [math] N [/ math]. Suponemos que cada elemento de [math] N [/ math] tiene un sucesor único en [math] N [/ math]. El principio de inducción matemática establece que, para cualquier subconjunto [matemática] P [/ matemática] de [matemática] N [/ matemática], si [matemática] 0 [/ matemática] es un elemento de [matemática] P [/ matemática] , y si para cada elemento [matemática] x [/ matemática] en [matemática] P [/ matemática], el sucesor de [matemática] x [/ matemática] también está en [matemática] P [/ matemática], entonces cada natural el número también debe estar en [matemáticas] P [/ matemáticas]. ¿Tener sentido? ¿Lo querrías de otra manera?

Ahora, podemos usar este principio para probar muchas cosas interesantes sobre cada número natural sin tener que probar cada uno de los infinitos números naturales. Puede dejar que [math] P [/ math] sea el conjunto de esos números naturales con una determinada propiedad, y luego aplicar el principio de inducción matemática para demostrar que cada número natural tiene esa propiedad. ¿Suena eso como una “estafa”?

Tenga en cuenta que el principio de inducción es solo una de las cinco propiedades esenciales del conjunto de números naturales. Los otros incluyen:

1. [matemática] 0 [/ matemática] es un número natural (como arriba).
2. Cada número natural tiene un sucesor único que también es un número natural (como arriba).
3. Un par de números naturales diferentes debe tener sucesores diferentes.
4. Ningún número natural tiene un sucesor que sea [matemático] 0 [/ matemático].

Dejando a un lado la palabra “estafa”, la prueba por inducción involucra ideas más sutiles de lo que generalmente se piensa. Mencionaré brevemente dos.

1) Considere la usual (forma teórica de conjunto) del axioma de Peano, escrito con el generador 0 y la función sucesora s:

∀P⊂N [0∈P ∧ ∀x (x∈P ⟹ s (x) ∈P) ⟹ P = N] (*)

Desde una perspectiva de teoría de conjuntos, esta es una expresión perfectamente correcta del principio. Sin embargo, desde un punto de vista lógico, esta no es una fórmula de primer orden en el lenguaje de la aritmética.

Cuando la aritmética se formula en lógica de primer orden, el axioma de Peano debe reescribirse usando solo el lenguaje de la aritmética, sin referencia a N y sin signos teóricos ∈ o ⊂, como un conjunto de axiomas (numerable) para cada fórmula F en el lenguaje de la aritmética):

F (0) ∧ ∀x (F (x) ⟹ F (s (x)) ⟹∀xF (x) (**)

Una consecuencia de tal reescritura es que hay modelos de aritmética de cualquier cardinalidad infinita, por ejemplo, incontables: los famosos modelos no estándar de aritmética.

(Una explicación intuitiva es ** es menos estricta que *: la fórmula * significa innumerables condiciones en N (2 ^ N, una para cada P⊂N), mientras que la fórmula ** significa solo muchas condiciones (una para cada fórmula F) .

En dicho modelo, la inducción sigue siendo válida, porque ** es válido por definición. Lo divertido es que, mientras realiza una inducción contable dentro del modelo, parece transfinito o totalmente extraño si se ve desde afuera.

Ahora, uno puede preguntarse por qué molestarse con ** cuando * es matemáticamente perfecto. Es solo que * supone casi todo el poder de la teoría de conjuntos, que puede parecer muy extraño cuando se estudia el N. a priori mucho más simple. De hecho, ese es el punto detrás de la lógica formal: use solo el lenguaje necesario para hablar de una estructura y escribir solo axiomas que este lenguaje permite escribir. Otra razón es que las computadoras pueden lidiar con ** pero no con *.

Para ser claros: los comentarios anteriores no tienen (y deberían tener) ningún impacto en el uso de * en la práctica ordinaria de las matemáticas.

(Para más detalles, vea cualquier libro de texto elemental sobre lógica).

2) Si bien la teoría de conjuntos ha estado en los cimientos de las matemáticas durante más de un siglo, la teoría de categorías se ha convertido en una base alternativa. Y dentro de la teoría de categorías, se ha definido una generalización de la teoría de conjuntos, escrita en términos puramente teóricos de categoría, a saber, la teoría de topoi (singular: topos).

En este marco, se puede definir un análogo de N, un “objeto de números naturales”, utilizando un diagrama muy simple que no menciona ninguna forma de inducción. Entonces es fácil demostrar que, en este marco generalizado, también existe un principio de inducción. Menciono esto para insistir en la generalidad de la inducción.

(véase, por ejemplo, el libro de Goldblatt “Topoi”, 1979 revisado en 1984.)

¿Es la prueba por inducción una gran estafa en matemáticas?

¿Qué?

Estafa :

Una estafa o truco de confianza es un intento de defraudar a una persona o grupo al ganar su confianza.

Inducción matemática:

La inducción matemática es una técnica de prueba matemática, más comúnmente utilizada para establecer un enunciado dado para todos los números naturales, aunque puede usarse para probar enunciados sobre cualquier conjunto bien ordenado.

Compruebe la inducción matemática – Wikipedia.

¿Qué demonios quieres decir cuando preguntas si la demostración por inducción matemática es una estafa en matemáticas?

¿Crees en los enteros?

Si lo hace, debe aceptar la inducción, ya que puede probar que la inducción funciona a partir de las propiedades de los enteros.

Si no acepta la idea de que los enteros funcionan, entonces supongo que también puede descartar la inducción.

Personalmente, continuaré asumiendo que las leyes de la aritmética funcionan de la manera que creo que lo hacen.

Tenga en cuenta que la ‘inducción matemática’ es diferente de la inducción en ciencias naturales. La inducción matemática es una forma perfectamente válida (y útil) de probar un enunciado / teorema, ya que necesita demostrar que las siguientes dos afirmaciones:

a) La afirmación P es verdadera para algunos n = [matemática] n_0 [/ matemática]

b) Si la afirmación P es verdadera para n = k, también es verdadera para n = k + 1

Al mostrar estos dos, se deduce inequívocamente que la afirmación P es verdadera para todos n> = [matemáticas] n_0. [/ Matemáticas]

La inducción en las ciencias naturales es una bestia diferente. Es una técnica de generalización que, aunque útil, no tiene una garantía lógica como la de la inducción matemática. Un ejemplo de inducción en ciencias naturales es: la manzana que cae sobre la superficie de la tierra y la Tierra que orbita alrededor del Sol, ambas siguen la ley universal de la gravitación, por lo que una piedra que cae sobre la superficie de Júpiter también obedecerá la misma ley. Las ciencias naturales tienen que confiar en esta generalización, ya que es imposible llevar a cabo infinitos experimentos, por lo que en algún momento da un salto de fe y declara un fenómeno “universal”.

Pero en matemáticas, tenga la seguridad de que una prueba por principio de inducción es tan fuerte como una por deducción, construcción o contradicción.

La prueba por inducción fue el primer ejemplo de una declaración que puede ser probada pero no verificada.

Propuesta: “Si me das un número primo, entonces puedo encontrar uno más grande”. Probable (Euclides) y comprobable (por cada número primo que me des, puedo construir uno más grande).

Corolario: “Hay un número infinito de números primos”. Probable (por inducción: llame a [math] P_n [/ math] el enésimo y …), no comprobable: los esclavos que Euclides puso en el trabajo aún no habían terminado.

De hecho, se puede demostrar que nunca terminarán. Y Euclides lo sabía. Por lo tanto, Euclides engañó a sus esclavos poniéndolos en un trabajo interminable.

La prueba por inducción no es una “estafa”, sino que la forma en que se presenta como si fuera definitivamente correcta es un tipo de engaño que ocurre por varias razones, tales como:

1. Seguridad laboral de matemáticos
2. Falta de voluntad para cuestionar las fuentes de autoridad basadas en la falsa creencia de que es “improductivo” hacerlo
3. El falso argumento de que un universo platónico implica necesariamente estas cosas
4. Un rechazo prematuro Las filosofías positivistas lógicas (principalmente debido al surgimiento del cristianismo moderno / capitalismo nacido de las filosofías darwinistas sociales nacidas en el siglo XIX y las posteriores Guerras mundiales a principios del siglo XX) basadas en la falsa idea de que la verificación se aplica a la filosofía en su conjunto.

En última instancia, este rechazo del positivismo lógico y la posterior aceptación de las filosofías nihilistas, basadas en estructuras de poder académico humano, lleva a la creencia de que conjuntos como “números naturales” y “enteros” son conjuntos significativos. En el caso de los números transfinitos, se basa en la idea de que los “números reales” y otros conjuntos con elementos no computables son conjuntos significativos.

El problema es que a la mayoría de los matemáticos nunca les importa estudiar la historia de la humanidad y las bases de sus filosofías.

Entonces, ¿por qué la humanidad terminó yendo en esta dirección? Se debió al hecho de que algunas verdades son, en última instancia, incompatibles con las estructuras económicas y gubernamentales humanas. El capitalismo finalmente depende de la religión. La religión es incompatible con el positivismo lógico (que revela la verdad de que las religiones son sistemas de mentiras y control mental).

Creo que su escepticismo puede provenir de una pedagogía sistémicamente insensible; es decir, la forma en que se enseña la inducción matemática a los estudiantes es generalmente inadecuada.

Permítanme responder su pregunta diciéndoles que la inducción matemática no es una estafa, pero ciertamente puede parecer así si su instructor no ha desarrollado completamente la mecánica subyacente. He observado que los estudiantes a menudo abordan el concepto del límite con el mismo escepticismo.

Entonces, si recuerdas la geometría de la escuela secundaria, si quieres probar una propiedad, llámalo P, es cierto para algún conjunto, llámalo S, tomamos una variable, la llamamos s, y simplemente usamos el álgebra o conjunto de operaciones disponibles para nosotros en S, para probar directamente que la propiedad P es verdadera para todos los elementos s en S. La mayoría de los estudiantes se dan cuenta de que la sustitución de una variable, como s, en lugar de algún elemento específico en S actúa como la sustancia de La universalidad de P en S. Si hubiéramos usado algún elemento específico en S, llámelo s ‘, entonces P solo se habría demostrado para s’.

Donde los estudiantes se obsesionan es la importación de esta idea en sus primeras lecciones de teoría de números naturales, que generalmente cubre la inducción matemática. La inducción matemática es una idea extremadamente poderosa, y vale más que la encuesta superficial que es típica de un curso de matemáticas discreto.

Una prueba por inducción matemática en el conjunto N, como ya sabrá, requiere un experimento preliminar en el que se muestra que una propiedad dada es verdadera para 1. Siempre que P (1) sea verdadero, debemos demostrar que es el caso para todo n en N que P (n) implica necesariamente que P (n + 1) es verdadero. Haber completado estos pasos demuestra que P es verdadero para todos los n en N.

Para completar el paso inductivo, se requiere la suposición de que P (n) es verdadero. —Aquí es donde los estudiantes se confunden porque parece haber la sugerencia de que estamos asumiendo lo que se debe probar; porque si suponemos que P (n) es verdadero, entonces parece intuitivamente seguir, incluso trivialmente, que P (n) es verdadero para todos los n en N. Sin embargo, debe entenderse que este no es el caso . La inducción matemática se basa en el doble requisito de que la propiedad, P, es universal a N si P (1) es verdadero y la mecánica de que P (n) es verdadero implica que P (n + 1) es verdadero. Una vez comprobadas estas características de P, se deduce por inducción matemática que P (n) es realmente cierto para todas las n en N.

Entonces, el paso inductivo realmente no se trata de si P es realmente cierto para todo n en N; se trata de si esta propiedad posee la característica especial de que ser verdadero para n implica necesariamente que es cierto para n + 1.

Espero que esto, entre las otras respuestas que haya recibido, pueda ofrecerle algo de claridad.

Parece que hay muchas personas haciendo variaciones de esta pregunta en este momento, puedes leer mi argumento de inducción como prueba aquí:
La respuesta de Asger Ougaard a ¿Cuál es la lógica detrás de la prueba por inducción? No puedo entender por qué el método de inducción proporciona una prueba, si el segundo paso es una hipótesis. Por lo tanto, no podemos probarlo, como en el caso base.

Pero la respuesta corta es: ¡No, por supuesto que no! Eso indicaría una conspiración extremadamente extendida entre matemáticos en todo el mundo, lo que parece bastante improbable.
Es simplemente una forma elegante de probar declaraciones para un número infinito de casos.

Qué pregunta tan extraña. Por supuesto no. Las pruebas por inducción son una parte fundamental de las matemáticas. Es una técnica poderosa y elegante.

Y, por cierto, no hay estafas en matemáticas.

MI es una construcción infalible de razonamiento noble. Artísticamente exhibe el sutil aroma matemático de los enteros y lo prolonga a horizontes lejanos a través de un audaz argumento científico estructurado de generalización.

¡Verlo como una estafa es un pecado científico!

Por supuesto no. Todo lo que hace es decir “He demostrado b. Y he demostrado que si b, entonces b + 1. Y esto se aplica en cada paso, por lo que b + 1 implica b + 2 implica b + 3, por lo que se aplica a todos los b + n donde n es mayor que 1. “. Todo es una lógica perfectamente rigurosa y válida.

La noción de inducción en los casos habituales se basa en esas nociones sobre números enteros, pero lo que la convierte en una idea transparente es su generalización: es la inicialidad del F-Álgebra de un endofunctor de una categoría (no estoy siendo fassy sobre los detalles).
Bart Jacobs escribió un artículo brillante sobre el tema, fácil de google.

Cuando escucho la palabra ‘Estafa’ aplicada a las Matemáticas, debo pensar en la ‘Paradoja’ de Tarsky y las Demostraciones más actuales en You Tube, etc., que la suma de todos los enteros positivos = -1/12.

¿A esto se refiere la publicación original?

¿Se utiliza la inducción en el resultado – 1/12?

En mi opinión, la inducción es una forma muy fácil y divertida de probar cosas en matemáticas y otras materias de ciencias, no creo que sea una estafa porque es muy logístico y siempre funciona para probar las cosas con ella (si podemos usar la inducción para probar estas cosas).

déjame explicarte y mostrarte que es logístico:

k personas están esperando en una fila para comprar boletos.

Una niña pasa y se acerca a ellas y dice que está recolectando donaciones para algo.

el hombre al que se acercó estaba en la línea de la fila y dijo que si la persona que estaba delante de mí dona entonces lo haré. y también todas las personas que estaban en la fila, excepto la primera.

¿Cómo podemos estar seguros de que todos los woo donan? Si la primera persona dona.

entonces necesitamos probar que el primero dona (T (n), n = 1)

¿Cómo podemos estar más seguros? si probamos también que en mineral más también ha donado.

entonces asumimos que la persona número n ha donado y luego lo probamos para la persona n + 1.

y después de eso nos aseguraremos de que todos donen.

QED