¿Cuál es la utilidad práctica de aprender la enésima raíz de un número?

El interés compuesto es una zona importante para las enésimas raíces. Aquí hay dos ejemplos típicos:

a) ¿Qué tasa de interés duplicaría mi dinero en 7 años? Para resolver esto, encuentre la séptima raíz de 2, que viene a 1.104. Esto significa que necesita un interés compuesto del 10.4% por año (reste 1 de 1.104). En general, la enésima raíz de K lo lleva al interés compuesto necesario para multiplicar su dinero inicial por K después de N años. Muchas personas financieras tienen una idea implícita o explícita de este hecho. Implicidad: “un poco más del diez por ciento duplicará su dinero en 7 años”. Explícitamente: la “regla de 72” que proporciona una aproximación si no puede hacer el cálculo de la enésima raíz: dice que la tasa de interés para duplicar su dinero en N años es aproximadamente 72 / N. Puede probar algunos valores para N y comparar esta aproximación con el cálculo exacto de la enésima raíz.

b) Si la tasa de interés anual efectiva es del 6%, ¿cuál es la tasa de interés mensual efectiva? Tenga en cuenta que la respuesta no es simplemente 0.5%, debido al efecto de la capitalización (medio porcentaje por mes llegaría a más del 6% en un año debido al interés sobre el interés). En su lugar, encuentre la duodécima raíz de 1.06, que viene a 1.00487. Reste el 1, y se revela que la tasa de interés efectiva mensual es 0.487% por mes, un poco menos de medio por ciento por mes, como cabría esperar del paréntesis anterior.

Para evitar distracciones aburridas, supusimos que los meses tienen el mismo tamaño, cifras redondeadas a 3 dígitos significativos y no profundizamos en la definición de la industria financiera de frecuencia de capitalización efectiva / nominal, etc.

Ahora tengo 21 años, pero puedes considerarme hijo, que acababa de recuperar su interés por las matemáticas después de un largo tiempo inútil en la tierra.

Entonces, siendo yo un niño, hice el caso de uso para entender las raíces. Y creo que puede ser útil para su hijo y lo ayudará a comprender la idea principal, aquí está.

” Conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produjo?”
– la raíz no soy yo

Entonces, la raíz matemática , como otra raíz, es el número a partir del cual nace otro número.

Supongamos que tenemos múltiples máquinas diferentes para multiplicar nuestros esfuerzos, de modo que se pueda producir mucha más producción con menos esfuerzos.

Estas supuestas máquinas están formadas por armarios. Nuestros esfuerzos se verán incrementados por el número total de gabinetes en la máquina.

Por ejemplo: si le damos 5 unidades como entrada a una de esas máquinas con 4 gabinetes, proporcionará la salida de 5 ^ 4 Ie 5 * 5 * 5 * 5 = 625 unidades.

Supongamos que necesitamos hacer 64 unidades de trabajo y tenemos una máquina libre con 3 gabinetes, por lo que sabemos que se necesitarán 4 unidades de esfuerzos iniciales porque 4 ^ 3 = 64 unidades.
(El cubo o la tercera raíz de 64 es 4)

En otro caso, si tendremos una máquina libre con 6 gabinetes, los esfuerzos requeridos serán de 2 unidades. Como 6 ^ 2 = 36.
(La raíz cuadrada o segunda de 36 es 6)

Ahora la pregunta es

¿Cómo podemos saber? ¿Cuántos esfuerzos serán necesarios para obtener algunos resultados requeridos utilizando la máquina de n gabinetes?

La respuesta es la enésima raíz del número.

Creo que esta metáfora puede hacer que un niño entienda eso, por qué usamos la enésima raíz. También que la multiplicación puede facilitar las cosas.

Para querer la enésima raíz de un número, necesita una relación con esa relación de poder que desea resolver. No hay muchos de estos, pero aparecen en lugares, a menudo en ecuaciones de ingeniería.

Por ejemplo, el daño que sufre una carretera es aproximadamente proporcional a la quinta potencia del peso del eje, escribimos

M = KNA ** 5

M = costo de mantenimiento
K = Una constante para la construcción y la longitud de la carretera (determinada a partir de los datos)
N = número de viajes
A = Peso del eje (** 5 corresponde a la potencia 5, Quora no hace superíndices)

Entonces, ¿qué cuesta más mil camiones de 20 toneladas de peso por eje o un millón de autos de 1 tonelada de peso por eje?

Autos = K x 1000000 x 1 ** 5 = 1,000,000 K
Camiones = K x 1000 * 20 ** 5 = 3,200,000,000 K

Los camiones lo matan. De hecho, un camión con un peso por eje de 20 toneladas hace más daño que un millón de automóviles. (Ir a la figura: los propietarios de automóviles pagan por las carreteras, los camiones los destruyen, nadie parece darse cuenta).

Si queremos trabajar la ecuación de otra manera, es decir, qué peso del eje usará nuestro presupuesto de mantenimiento con un número dado de viajes esperados que obtenemos

A = 5ta raíz de (M / KN)

Es posible que desee resolver esto si, por ejemplo, estableciera límites de peso en carreteras de menor pendiente.

Aquí hay muchas respuestas excelentes que abordan directamente la pregunta. Y sé que es bueno conocer un escenario del mundo real donde podría surgir una pregunta matemática dada.

Pero la respuesta a la pregunta más amplia que su hijo puede estar preguntándose en secreto (“¿por qué me piden que aprenda esto?”) Es que toda la matemática de la escuela primaria está sentando las bases de la alfabetización matemática básica necesaria para llegar al punto que usted pueda incluso ENTIENDE las matemáticas que son realmente poderosas en el mundo real. Los dos campos matemáticos más útiles en términos prácticos son las estadísticas y el cálculo, y la comprensión requiere una base muy sólida sobre cómo funcionan los números. Esto se logra pensando en todo tipo de problemas numéricos y cada vez más cómodo trabajando con números, y eventualmente símbolos que representan un amplio conjunto de números.

¿Tiene que haber una utilidad práctica para ello? ¿Qué pasa si no hay uno? Claramente, las otras respuestas aquí muestran que ese no es el caso, pero la idea de una enésima raíz (y las formas de visualizarla y calcularla) se destaca como una idea interesante.

Al menos eso me hace a mí. No tiene que ser interesante para todos. Quizás su hijo tenga intereses en otras partes que no sean matemáticas, lo cual está bien, pero esta pregunta llega al núcleo de por qué es importante una educación general amplia y profunda. Ese propósito no es preparar a los estudiantes para un trabajo o carrera específica (donde lo que se enseña se aplicará prácticamente), sino exponer a los estudiantes a las ideas fundamentales y los descubrimientos en tantos temas como sea posible para que ellos mismos algún día puedan aplicar esas ideas de manera significativa. formas.

Cuando estaba enseñando Álgebra I o II a estudiantes de primer año entrantes, ocasionalmente recibía alguna forma de la pregunta: “¿Cuándo necesitaré ‘completar el cuadrado’ en la vida real?” La respuesta es: “Bueno, eso depende de ti”.

A ellos nunca les gustó esa respuesta, al menos al principio, pero yo la seguiría señalando que nadie parece preguntar sobre la utilidad práctica de la música, el baile o el deporte. Por supuesto, hay algunos propósitos muy prácticos para esto, pero de alguna manera las matemáticas (y la ciencia) deben justificarse, mientras que las artes, las humanidades y el deporte se entienden como actividades autosuficientes.

Ver cualquier campo que valga la pena estudiar por su propio valor, es un excelente primer paso para obtener una comprensión profunda de él, avanzarlo o incluso aplicarlo de formas novedosas, interesantes o incluso prácticas.

¿Toca el piano, por casualidad?

Puede enseñarle que cuando la frecuencia de un sonido se duplica, lo percibimos como un aumento de una octava. Eso suena “casi igual”, excepto que está flotando más alto en el espacio musical. Muéstrele cómo el C central y el siguiente C hacia arriba suenan igual, y cuando se tocan juntos suenan como lo mismo tocando dos veces: no se forma armonía.

(No importa si elige C u otra cosa, simplemente elija dos notas que estén situadas en la misma ubicación en relación con las teclas negras).

Entonces una octava es una duplicación de la frecuencia. Para pasar de una C a la siguiente en el piano, puede ver que necesitamos mover 12 pasos: de C a C # (la tecla negra justo encima de la C), y luego a D (la blanca a la derecha de C ), y luego a D #, y así sucesivamente. Doce pasos, llamados semitonos, en general.

En la afinación moderna, todos esos pasos son los mismos, lo que significa que la relación entre las frecuencias de dos tonos que están separados por un semitono es siempre la misma. La relación de frecuencia entre C y C # es la misma que entre C # y D, o E y F, o B ♭ y B.

[¿Por qué “ratio”? Porque así es como percibimos el sonido. Cuando dos notas tienen una cierta relación de frecuencia entre ellas, suenan como un intervalo armónico particular. Esto es cierto para las proporciones, pero no para las diferencias o cualquier otra medida de separación.]

Todo bien. Entonces, ¿cuál debería ser la relación de frecuencia de un semitono para que 12 de ellos llenen una octava? Si comenzamos con la frecuencia de C media y seguimos multiplicando por esa relación desconocida, deberíamos hacer que la frecuencia se duplique después de 12 multiplicaciones. El número (real) que, multiplicado por sí mismo 12 veces, se convierte en 2, se llama [math] \ sqrt [12] {2} [/ math]. La duodécima raíz de 2. (Lo siento, sé que “duodécimo” es una palabra horrible, pero no es tan malo como “duodécimos”).

Una razón por la que esto es interesante es que esta afinación de “temperamento igual” viola un poco las relaciones armónicas ideales. Los griegos observaron que las proporciones armónicas que son agradables para el oído son proporciones de enteros pequeños; Por ejemplo, una relación de 3: 2 es un quinto perfecto (G a C). Sin embargo, hay 7 semitonos entre C y G, por lo que la proporción real de un quinto en un piano es

[matemática] \ izquierda (\ sqrt [12] {2} \ derecha) ^ 7 = 2 ^ {7/12} \ aprox 1.4983 [/ matemática]

que está cerca, pero no del todo, a la relación ideal de 1.5. Usando un poco de la teoría de las fracciones continuas, se puede demostrar que la elección de 12 pasos a una octava es en realidad una muy buena opción, desde la perspectiva de mantener simultáneamente proporciones iguales y aproximar el quinto pozo perfecto.

Esa es una forma de motivar la definición de raíces de orden superior. Sin embargo, creo que es importante darse cuenta de que tales definiciones matemáticas básicas a menudo están motivadas por el deseo de integridad y simetría, más que por este o aquel fenómeno natural.

Una vez que tenemos la suma, encontramos la resta necesaria para “invertir” la suma y resolver varios problemas relacionados con la suma. (“¿dos más qué es siete?”)

Una vez que tenemos la multiplicación, encontramos la división necesaria para “invertirla” y resolver varios problemas relacionados con la multiplicación. (“dos veces lo que son seis?”)

Una vez que tenemos exponenciación (“3 a la potencia de 5 …”), encontramos dos cosas necesarias para “invertir” y resolver varios problemas que implican exponenciación. Uno está tomando logaritmos, y el otro está extrayendo raíces. La razón por la que necesitamos dos operaciones en lugar de una aquí es porque la exponenciación no es conmutativa ([matemática] 3 ^ 4 [/ matemática] no es [matemática] 4 ^ 3 [/ matemática]). (” Lo que para el poder de 5 es 32″ es extraer una raíz, mientras que “dos para el poder de lo que es 32″ es un logaritmo).

Otra forma de motivar la introducción de raíces se hace evidente cuando enseñamos a los niños sobre números complejos. Esto puede no ser útil para un alumno de séptimo grado, pero aún puede sentir curiosidad por saber que cada número no tiene una sino siete raíces de séptima, o dieciséis raíces de 16th, etc., y se ven así:

Por esa razón, las raíces de un número a veces son útiles para resolver problemas geométricos que tienen puntos igualmente espaciados en un círculo, o polígonos regulares, y muchas otras cosas además.

Buena pregunta para él, debe ser creativo.

Es una noción conceptual abstracta más que nada.

Cuando llega a las matemáticas de nivel superior, como ecuaciones cuadráticas y cálculo (que es muy genial y pacífico)

Las raíces enésimas ocurren en las fórmulas y expresiones, a menos que sepa cómo manejarlas, ya que al dividirlas y factorizarlas no puede resolver la ecuación. Es por eso que en las primeras etapas aprendemos que existen.

Ahora, esto no significa que tenga que encontrar la respuesta numérica que se trata de manipulación y reducción de ecuaciones.
Ejemplo simple La quinta raíz de X a la quinta potencia es = X

Entonces, no importa cuál sea X, la respuesta es siempre = X

Los usos se vuelven mil veces más complejos que esto, pero recuerde que la clave es que generalmente no los está resolviendo para encontrar una respuesta numérica específica, sino una forma de expresar la ecuación en términos más simples para cualquier número de datos al que desee aplicarla.

… Todo tendrá sentido cuando diseñe una trayectoria de cohete hacia la luna.

David Chalk

Honestamente, no hay una utilidad “práctica” para las matemáticas a menos que esté lo suficientemente educado como para aplicarlo a problemas abstractos. Para un estudiante de séptimo grado, a menos que esté haciendo algo científico, no tiene nada en su vida que lo requiera. No ayudará a andar en bicicleta, hacer amigos, o cualquier cosa más evidente. La mayor ventaja que tiene un alumno de 7º grado en aprender esto NO sería ser considerado tonto e incluso ser considerado inteligente. Estos son beneficios sociales.

Para hacer las cosas más interesantes de la vida, aunque necesita estas habilidades. Las matemáticas son como el arte a este respecto. Aprender a crear y apreciar el arte no es “práctico” en el sentido de supervivencia, pero es práctico en el sentido de dar sentido, crear cosas y hacer más que solo sobrevivir.

Intentar que las personas se interesen en las matemáticas basadas en la “practicidad” es inútil, y los niños verán a través de esta hipocresía. “Si las matemáticas son tan útiles y eres 30 años mayor que yo, ¿por qué no puedes explicar exactamente cómo es útil y por qué no lo has usado?”

No puedo agregar nada a la lista de ejemplos ya suministrados, excepto lo siguiente: como regla general en matemáticas, es útil encontrar la solución más general posible a un problema porque tendrá una amplia aplicabilidad.

Para explicar lo que quiero decir con esto, considere como ejemplo práctico la posición de un programador de computadora encargado de escribir una función que devuelva la raíz cuadrada de un número. Luego, otro cliente solicita la raíz del cubo y tiene que cambiar el software para proporcionarlo. Luego, otro cliente solicita una raíz fraccionaria y tiene que proporcionarla. Hubiera sido mucho más limpio proporcionar una función de exponenciación general en primer lugar.

La generalidad realmente debería ser un fin en sí misma. Se crean muchas matemáticas útiles sin conocimiento de cómo eventualmente se usarán. Un niño curioso que haya visto el concepto de suma / resta inversa, la multiplicación / división lo buscará en otras operaciones, como la exponenciación también.

Varias personas me hicieron una pregunta como esta. Tenía experiencia en la escuela secundaria, la universidad y la universidad en matemáticas, y a veces cuando alguien te hace una pregunta como esa, también te hace pensar en por qué estás estudiando tantas matemáticas “imprácticas” puras. La duda se hace aún más fuerte, especialmente si usted mismo está luchando con las lecciones.

“Al diablo, renunciaré y cambiaré a Administración de Empresas o algo así”.

Por lo general, responderían una pregunta como esa diciendo: “Mientras sepa cómo sumar, restar, dividir y multiplicar, puedo sobrevivir en este mundo”.

Entonces, ¿cuál es la “utilidad práctica”? Supongo que las matemáticas entrenan tu mente para convertirse en una esponja. Si pudieras aprender y dominar cosas abstractas, no intuitivas (¡para mí!), “Inútiles” como álgebra, cálculo, “enésima raíz”, sistemas de Fourier, etc., entonces básicamente puedes aprender cualquier cosa después de eso.

Si le gusta la música, puede probar esto: las notas musicales son vibraciones a diferentes frecuencias. Las notas altas son frecuencias altas y las notas bajas son frecuencias bajas. Si desea saber cuánto más alta es una nota que otra, debe dividir sus frecuencias. Por ejemplo, una octava es una relación de frecuencia de 2 a 1 (una A a 880 Hz es una octava sobre una A a 440 Hz). Pero una octava también se compone de 12 medios pasos (12 notas en el piano, incluidas las teclas blancas y negras). Eso significa que la relación de frecuencia para un medio paso, elevado a la 12ª potencia, debe ser igual a 2. Para obtener esa proporción, necesitamos tomar la raíz número 12 de 2. Entonces, los afinadores de piano y los fabricantes de instrumentos y productores de radio y cualquier persona que funciona con sonido todo lo que necesita saber acerca de las raíces 12

¡Qué pregunta tan inocente!
Incluso consideramos que tenemos interés en las matemáticas y lo hemos estado estudiando durante siglos.
Una sola pregunta y todos estamos ahh! ohh! ¡Guauu! ¿Eso es una pregunta?
Una mente joven y cruda, esa es la belleza de las matemáticas.
¿Puede cualquier respuesta estar completamente justificada y dar la respuesta exacta? Creo que no más la respuesta, más curioso y más alejado de la respuesta
¿Cómo podemos responder a esta simple pregunta?
Vamos a esperar si alguien puede responder?
¿Será otro pensamiento crudo y puro o un matemático?
espera y mira

Básicamente, donde sea que tenga exponenciación (es decir: x elevado a la potencia de n) necesita raíces enésimas para revertirlo.

Hay muchas áreas y operaciones en la vida cotidiana donde se usa esto. Por ejemplo:
Interés compuesto / números compuestos, por ejemplo, si algo aumenta en un 1 por ciento al día, ¿cuánto será después de 12 meses? ¿De qué capital será la cantidad después de 12 meses si aumenta en un 1 por ciento diario?

Útil en:
1. Cuando las poblaciones aumentan exponencialmente: calcular la población inicial x años atrás cuando la tasa de crecimiento es yy la población actual es x.

2. Desintegración radiactiva: ¿cuándo disminuirá la lluvia radiactiva a un nivel que sea más seguro para los humanos ir a algún lado?
Dado que el 10 por ciento de la electricidad en los EE. UU. Se produce a partir de armas nucleares desmontadas y los desechos deberán eliminarse; esto es más relevante de lo que muchos piensan.

4. Música: vea también la respuesta de Alon Amit.
Por lo tanto, necesita raíces enésimas para afinar y calibrar instrumentos musicales si está utilizando un dispositivo de medición cuantitativa.

5. Electricidad / dispositivos eléctricos: muchas fórmulas y ecuaciones eléctricas implican enésimas raíces.
Incluyendo su ventilador de techo y taladro eléctrico y aire acondicionado.

6. Electrónica: toda su electrónica moderna.

7. Fotografía

8. Aplicaciones relacionadas con el espacio.

9. Ingeniería civil: cálculo de la fuerza que pueden tomar las estructuras complejas.

10. Ingeniería mecánica

11. astronomía

… muchos otros….

Aprender raíces cuadradas y cúbicas no es de mucha utilidad, a menos que necesite específicamente una u otra.

Su tiempo se gastaría mejor aprendiendo números y mini-registros basados ​​en lg (2) = 12, lg (3) = 19, lg (5) = 28. Esta no es solo la base de las escalas musicales, sino que cosas como las resistencias se escalan en los mismos números R4o. La raíz cúbica de 5 es 9,33, que comienzas con 5/6 (28-31 = -3) y luego 5/3. Llegamos aquí que 5/3 ^ 3 = 125/27, mientras que 5 es 135/27.

La respuesta de Alon Amit es muy útil y buena. Gracias.
Si desea obtener resultados directamente aquí, está la calculadora Radicales o (enésima raíz).

Aquí hay un problema práctico: imagina que tienes algo de dinero y deseas duplicarlo en 7 años obteniendo algo de dinero.
interés compuesto anualmente. ¿Cuál debería ser ese interés?
La respuesta es la séptima raíz de 2 menos 1.

La raíz ntr de un nummerbord usaba mucho en finanzas. Por ejemplo, si desea determinar qué interés duplica su dinero en 5 años, usaría la ecuación 5root (2). Puede conectar cualquier número que desee, el número debajo de la raíz es el multiplicador de la cantidad principal después de una cantidad de años.

Probablemente son importantes en los juegos de computadora , ver:
Raíz cuadrada inversa rápida

Algunas fórmulas geniales de interpolación utilizadas en juegos hacen uso de exponentes que van desde 10 hasta, digamos, 0.1 (décima raíz). Dile esto.