¿Es correcta esta prueba por contradicción?

Si pone números de línea en su documento, puedo señalar los errores de forma rápida y exacta.

Por ahora escribiré una solución con explicación.

• [matemáticas] a ^ {2} = b ^ {2} (m ^ {2} +1 [/ matemáticas]), después de alguna derivación
• Usando el teorema fundamental de la aritmética, vemos que los poderes de todos los números primos en [matemáticas] a² [/ matemáticas] y [matemáticas] b² [/ matemáticas] son ​​de grado par. Por lo tanto, los poderes de todos los números primos en [matemática] m² +1 [/ matemática] también deben ser de grado par (ya que [matemática] m² [/ matemática] se puede obtener mediante la división de [matemática] a² [/ matemática] por [matemáticas] b² [/ matemáticas], que no cambia la uniformidad de los grados).
• Esto reduce la pregunta a una pregunta más fácil, si existe un número entero [math] n [/ math] de manera que [math] n² = m² + 1 [/ math] pueda mantenerse para algún número entero m.
• Ahora tenemos [matemáticas] (nm) (n + m) = 1 [/ matemáticas]. Como 1 solo es divisible por sí mismo y [matemática] -1 [/ matemática], [matemática] nm = 1 [/ matemática] y [matemática] n + m = 1 [/ matemática], o [matemática] nm = – 1 [/ math] y [math] n + m = -1 [/ math]. Ambos son imposibles, excepto el caso trivial de [matemática] n = \ pm 1 [/ matemática] y [matemática] m = 0 [/ matemática].

Su prueba en realidad no es correcta, porque se equivocó en los poderes de la expresión a la izquierda donde dice

[matemáticas] \ sqrt {\ left (m ^ 2 + \ dfrac {a ^ 2 – m ^ 2b ^ 2} {b ^ 2} \ right)} = \ dfrac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ matemáticas]

Podrías haberlo simplificado así:

[matemáticas] m ^ 2 = \ dfrac {a ^ 2} {b ^ 2} – 1 [/ matemáticas]

Por supuesto, esto implica que [math] \ dfrac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ math] es un número entero y sabemos que la separación mínima entre dos números cuadrados consecutivos distintos de cero es [math] 3 [/ math ] Entonces, [math] \ dfrac {a} {b} [/ math] no es un número entero. También sabemos que el cuadrado de un número racional no entero no puede ser un entero. De ahí la contradicción.

Cometiste un error en la línea justo después de “La sustitución en la expresión original da:”

Pasó de [matemáticas] (m ^ 2 + 1) ^ {1/2} = a / b [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] -> [matemáticas] (m ^ 2 + 1) ^ {1 / 2} = a ^ 2 / b ^ 2 [/ matemáticas]

Editar-

Siempre que obtenga una ecuación en una forma y luego la reemplace en sí misma, debe obtener el resultado final: 0 = 0. Esto se debe al hecho de que sus ecuaciones no serán independientes.

Lamentablemente, creo que la prueba es incorrecta. Hubiera sido una prueba increíble , si hubiera funcionado.

El paso en el que sustituye [matemáticas] 1 = \ frac {a ^ 2-m ^ 2b ^ 2} {b ^ 2} [/ matemáticas] en [matemáticas] (m ^ 2 + 1) ^ {\ frac {1 } {2}} = \ frac {a} {b} [/ math] es el error.

Después de sustituirlo, debería decir que

[matemáticas] (m ^ 2 + \ frac {a ^ 2-m ^ 2b ^ 2} {b ^ 2}) ^ {\ frac {1} {2}} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas ]

En lugar de [matemáticas] \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ matemáticas]. Luego, terminas con [matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {a} {b} [/ matemáticas], lo cual no es una contradicción.

No estoy seguro de cómo solucionar esta prueba, ya que el paso crucial tenía un error. 🙁

Cuando sustituyes de nuevo a la expresión original, obtienes (desorden) la potencia de 1/2 es igual a a / b, simplificando a a / b = a / b porque simplemente estás dando vueltas en un gran círculo.

Cometiste un error.

Cuando sustituye 1 en la ecuación original, el lado derecho no es

(a / b) ^ 2, pero solo (a / b).

El reclamo tal como está escrito no es cierto. Por ejemplo, (3 + 1) ^ (1/2) = 2 es racional.

Cuando sustituyes de nuevo en la expresión original está mal, la expresión original tenía a / b no a ^ 2 / b ^ 2 y terminas obteniendo 1 = 1.