Hay razones para sospechar que no existe una “caracterización completa significativa de todos los grupos finitos”, en el sentido de una lista fácilmente comprensible como en el caso de los grupos simples finitos. Se conoce el comportamiento asintótico del número de (clases de isomorfismo de) grupos finitos de orden [matemática] 2 ^ n [/ matemática]; este número crece como
[matemáticas] 2 ^ {\ frac {2} {27} n ^ 3 + O (n ^ {8/3})} [/ matemáticas]
y se conjetura que “casi todos los grupos finitos son 2 grupos finitos”, por lo que esto da una idea de lo que son los asintóticos en general.
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Por ejemplo, tome [math] n = 10 [/ math]. Entonces se sabe que hay exactamente [matemáticas] 49,487,365,422 [/ matemáticas] grupos de orden [matemáticas] 2 ^ {10} = 1024 [/ matemáticas]. Además, se sabe que estos representan más del 99% de los grupos de orden de menos de [matemáticas] 2000 [/ matemáticas]; Consulte la página en iastate.edu para conocer los recuentos exactos.
Esto a pesar del hecho de que los problemas de extensión que tiene que resolver para clasificar 2 grupos finitos son, en cierto sentido, más simples que en el caso general: cada grupo 2 es una extensión central iterada de copias de [math] \ mathbb {Z } _2 [/ math] (no se ven grupos simples finitos nobelianos a la vista), por lo que, en principio, para resolver estos problemas de extensión solo tiene que calcular repetidamente la cohomología de grupo [math] H ^ 2 (G, \ mathbb {Z} _2) [/ matemática] donde [matemática] G [/ matemática] es un grupo 2 finito. Pero para clasificar grupos de orden [matemática] 2 ^ {10} [/ matemática] de esta manera, tendría que
- Comience con un solo grupo, [math] \ mathbb {Z} _2 [/ math],
- Calcule [math] H ^ 2 (\ mathbb {Z} _2, \ mathbb {Z} _2) [/ math] para descubrir todas las extensiones centrales de [math] \ mathbb {Z} _2 [/ math] por sí mismo. Hay dos de ellos, [math] \ mathbb {Z} _2 \ times \ mathbb {Z} _2 [/ math] y [math] \ mathbb {Z} _4 [/ math];
- Calcule [math] H ^ 2 (G, \ mathbb {Z} _2) [/ math] para [math] G [/ math] los dos grupos anteriores para averiguar todas las extensiones centrales de esos grupos por [math] \ mathbb { Z} _2 [/ matemáticas]. Hay cinco de ellos, [math] \ mathbb {Z} _2 \ times \ mathbb {Z} _2 \ times \ mathbb {Z} _2 [/ math], [math] \ mathbb {Z} _4 \ times \ mathbb { Z} _2 [/ math], [math] \ mathbb {Z} _8 [/ math], el grupo quaternion [math] Q_8 [/ math] y el grupo diédrico [math] D_8 [/ math];
- y así sucesivamente siete veces más.
En cada paso, el número de grupos que necesita para calcular la cohomología se hace más grande (a priori exponencialmente más grande, pero de hecho incluso peor que eso) y su cohomología se vuelve más complicada. Y luego debes comenzar a eliminar los duplicados. ¿Qué significaría incluso tener una “caracterización completa” de una lista de grupos tan grande?
Tenga en cuenta también que para especificar un ciclo 2 que representa un elemento de [matemáticas] H ^ 2 (G, \ mathbb {Z} _2) [/ matemáticas], donde [matemáticas] G [/ matemáticas] tiene orden [matemáticas] 2 ^ n [/ math], requiere especificar una función [math] c (-, -): G \ times G \ to \ mathbb {Z} _2 [/ math]. El dominio tiene un tamaño [matemático] 2 ^ {2n} [/ matemático], por lo que el número total de tales funciones es [matemático] 2 ^ {2 ^ {2n}} [/ matemático]. Entonces, un cálculo de fuerza bruta está condenado al fracaso. Hay cosas más inteligentes que puede hacer, pero si intenta seguir el algoritmo anterior, todavía está tratando de hacer esas cosas inteligentes en una lista de grupos peores que exponencialmente.
Finalmente, permítanme señalar que la mayor potencia de 2 para la que Groupprops enumera explícitamente todos los grupos de ese orden es [matemática] 2 ^ 5 = 32 [/ matemática] (Grupos de orden 32). Hay [matemáticas] 267 [/ matemáticas] grupos de orden [matemáticas] 2 ^ 6 = 64 [/ matemáticas] y esto es aparentemente demasiado incluso para los Groupprops inusualmente detallados (Grupos de orden 64).
