Justin tiene la respuesta correcta e incluso le da una idea geométrica de cómo funcionan los problemas de programación lineal en general. Sin embargo, podemos ser un poco más específicos con este problema. Consideremos el caso donde y = 4, entonces claramente tengo que hacer x negativo para que se ajuste a nuestra primera restricción (y menor o igual a cero para que se ajuste a nuestra segunda). Sin embargo, podemos hacer que x sea tan pequeña como queramos (es decir, un número negativo con una gran magnitud) y aún así cumplir nuestras restricciones. Entonces, podemos hacer que nuestra función objetivo sea tan pequeña como queramos. En particular para y = 4, p = 40 + 5x, por lo que simplemente elegimos x como un número negativo con una magnitud tan grande como queramos para que nuestro objetivo funcione tan pequeño como queramos. Concluimos que no hay mínimo.
Podemos ser un poco más rigurosos (o al menos más matemáticos). Supongamos que hay algo de M tal que p> M para todos los x e y que satisfacen x + y <= 2 y 3x + y <= 4 (tenga en cuenta que esta es una condición necesaria para tener un mínimo finito; debe haber algún número que p es siempre mayor que). Fix y. Considere solo el caso y <1 (si y es más grande, x es aún más pequeño y sigue un argumento análogo). Ahora, si satisfacemos x + y <= 3, automáticamente satisfacemos la otra condición (puede verificar el álgebra si lo desea). Ahora automáticamente tenemos p M, entonces 5x + 20> M (podemos leer esto de M <p <5x + 20). Elija x <(M-20) / 5. Entonces 5x + 20 M y, por lo tanto, que p no tenga un mínimo.
El argumento más riguroso probablemente puede limpiarse y simplificarse mucho, y el bosquejo (el primer párrafo) contiene la información importante para entender.
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