“Una medida” es una abstracción de longitud. O área. O volumen.
Este tipo de cosas suceden mucho en matemáticas. Tenemos algún tipo de herramienta muy conocida y bien entendida, como el concepto de área, por ejemplo.
Luego comenzamos a empujar los límites de la utilidad o el alcance de esa herramienta. Seguimos preguntando, ¿cuál es el área de esto? ¿Cuál es el área de eso? En algún momento, tal vez sea difícil responder la pregunta.
- ¿Por qué es imposible descifrar el cifrado afín C = (aP + b) (mod 26) si el cifrado se realiza utilizando a = 26 y b = 3?
- ¿Hay algún caso excepcional en el que no podamos aplicar el teorema de divergencia de Gauss?
- Si resuelve una pregunta de evaluación de números complejos con diferentes métodos, las respuestas no son las mismas. ¿Por qué las respuestas difieren?
- ¿Por qué los matemáticos estudian fractales? ¿Lo están haciendo los matemáticos solo por el bien de la investigación o se puede aplicar la investigación de los fractales a algo que nos beneficia?
- ¿Cómo se demuestra esto? [Matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ sin {x}} {\ sqrt {x}} dx = \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ cos {x}} {\ sqrt {x}} dx = \ sqrt \ frac {{\ pi}} {2} [/ math]?
Por ejemplo, puedo preguntar sobre el área entre la gráfica de una función y el eje [math] x [/ math]. Si conoce el cálculo, esta es solo la integral definida tradicional. Pero si no conoce el cálculo, no se preocupe … es solo el área “S” en esta imagen:
Bien vale. Pero, ¿qué pasa si la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es un poco … divertida? Por ejemplo, ¿qué sucede si define una función como [matemática] f (x) = 1 [/ matemática] si [matemática] x [/ matemática] es racional y [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] si [matemáticas] x [/ matemáticas] es irracional. ¿Esa función tiene un área debajo de la curva? ¿Ese concepto tiene sentido?
Aunque esta pregunta puede parecer artificial, no es solo una curiosidad intelectual. Explicar por qué requiere un poco más de tiempo y espacio del que tengo, pero … confía en mí. Imagina que realmente estás interesado en este tipo de preguntas.
El concepto de “medida” fue desarrollado para responder preguntas como esta … para medir el área (o longitud, o volumen) de cosas que no tienen un área, longitud o volumen naturalmente obvio.
Si eres realmente curioso, te darás cuenta de que no te he dicho qué es una medida, solo lo que hace .
Entonces, si tiene un espacio [matemática] X, [/ matemática] una medida es una forma de … bueno … medir ciertos subconjuntos de [matemática] X [/ matemática]. Por lo general, una medida abstracta se denota [math] m [/ math] o [math] \ mu. [/ Math] Queremos que se comporte más o menos como la longitud. Entonces, estas propiedades son verdaderas, cuando [math] E [/ math] y [math] F [/ math] son subconjuntos medibles de [math] X [/ math]:
- [matemáticas] m (E) \ geq 0 [/ matemáticas]
- Traducción sin fórmula: ¡No existe una longitud negativa!
- [matemáticas] m (E \ cup F) = m (E) + m (F) [/ matemáticas] cuando [matemáticas] E [/ matemáticas] y [matemáticas] F [/ matemáticas] son disjuntas. De hecho, lo mismo se aplica a conjuntos disjuntos por pares infinitamente numerosos. (Si no sabe lo que significa “infinitamente contable”, simplemente ignore este bit).
- Traducción sin fórmula: si puede dividir un conjunto grande en dos (… o infinitamente muchos) conjuntos más pequeños que no se superponen, la medida del conjunto grande es la medida combinada de los conjuntos más pequeños.
- [matemática] m (F) \ leq m (E) [/ matemática] cuando [matemática] F \ subconjunto E [/ matemática].
- Traducción sin fórmula: si tiene un conjunto pequeño completamente contenido en un conjunto grande, la medida del conjunto más pequeño es menor o igual que la medida del conjunto grande.
- [matemática] m (\ conjunto vacío) = 0 [/ matemática].
- Traducción sin fórmula: la medida del conjunto vacío es 0.
Tenga en cuenta que todas estas propiedades son totalmente obvias si reemplaza [math] m (E) [/ math] con “length of [math] E [/ math]” o “area of [math] E [/ math]”.
De hecho, hay una medida especial llamada medida de Lebesgue que “extiende” la noción de longitud, área, etc. Es decir, si [matemática] E [/ matemática] es un conjunto que tiene una longitud bien definida, la medida de Lebesgue de [matemáticas] E [/ matemáticas] está de acuerdo con su longitud. Resulta que no todos los conjuntos son medibles por Lebesgue. Esto de ninguna manera es obvio … de hecho, tienes que trabajar muy duro para construir tal conjunto.
