¿Qué es el “cálculo tensorial” y por qué Einstein lo necesitaba para algunas de sus teorías?

Se le pidió que respondiera: http://www.quora.com/What-is-tensor-calculus-and-why-did-Einstein-need-it-for-some-of-his-theories/answer/Rob-Campbell- 13 y http://www.quora.com/What-is-tensor-calculus-and-why-did-Einstein-need-it-for-some-of-his-theories/answers/3938701 ofrecen buenas respuestas, pero Agregaré una perspectiva un poco más abstracta.

Durante algunos siglos, las matemáticas y la física estuvieron dominadas por el espacio de los números reales, [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]. Fue en este espacio de muy buen comportamiento donde se desarrollaron el cálculo, y luego el análisis real, y las teorías físicas basadas en el cálculo de la mecánica clásica y el electromagnetismo.

Pero a fines del siglo XIX y principios del siglo XX, los matemáticos estaban abstrayendo [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] eliminando varios supuestos. Finalmente, encontraron el espacio más simple en el que se puede hacer cálculo: la variedad diferenciable. Los colectores son espacios que se parecen a [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] solo localmente, y proporcionan el poder de modelar objetos como superficies curvas incrustadas en espacios de dimensiones superiores (aunque son mucho más generales que ese).

Einstein colaboró ​​con muchos de los pioneros de este campo, conocido como cálculo tensorial en sus primeras encarnaciones, y señaló que las suposiciones implícitamente en el uso de [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] también lo eran rígido para generalizar la relatividad especial. Al aprovechar los múltiples, fue capaz de desarrollar la relatividad general de una manera muy elegante y directa.

Desde entonces, la variedad se ha abrazado aún más, y ahora casi todas las teorías físicas, desde la mecánica clásica hasta la termodinámica, la teoría de campos cuánticos e incluso la teoría de cuerdas, se definen en una variedad abstracta.

Un tensor de orden 0 es un escalar (número).
Un tensor de orden 1 es un “vector” y, dado su base, sus coordenadas pueden representarse como una cuadrícula (matriz) de números 1D (puede ser una dimensión muy alta y ciertamente puede incluir más de 3 números, en contraste con lo que es reclamado en otra respuesta).
Las coordenadas de un tensor de orden 2 se pueden representar mediante una matriz (una cuadrícula 2D de números)
Las coordenadas de un tensor de orden 3 se pueden representar mediante una cuadrícula 3D de números.
Las coordenadas de un tensor de orden 4 se pueden representar mediante una cuadrícula de números 4D.
Etcétera

Aproximadamente, un tensor de orden n es una función multilineal (lineal en cada variable) que toma n “vectores” y escupe un número. Pongo “vector” entre comillas porque técnicamente también puede consumir codificadores, pero voy a ignorar esos problemas para simplificar esta exposición (supondré que se da una métrica que me permitirá intercambiar libremente vectores y codificadores).

Existen reglas de transformación estándar que le indican a uno cómo transformar las coordenadas cuando se realiza un cambio de base. Esto se aplica tanto a las coordenadas curvilíneas como a los sistemas de coordenadas no curvados y se reduce a las reglas de cálculo multivariables estándar para tensores de orden inferior (por lo que el uso de dominios curvos no implica que uno deba adoptar el formalismo tensorial). Un ejemplo estándar es el uso de coordenadas polares vs coordenadas cartesianas.

Entonces, ¿por qué tensores? Muchas cantidades físicas interesantes tienen una dependencia multilineal de los desplazamientos (p. Ej., Tensión de fluido, elasticidad lineal, flujo de calor). La linealidad (múltiple) es muy importante. Wald da el ejemplo de la intensidad del campo magnético en su libro, Relatividad general: una sonda que mide la intensidad del campo puede orientarse en un número infinito de direcciones. Entonces, en teoría, uno podría tener que registrar un número infinito de mediciones para describir el campo magnético. Pero dado que la intensidad de campo exhibe linealidad, solo necesitamos realizar 3 mediciones en 3 orientaciones de sonda linealmente independientes y podemos determinar qué mediciones darían como resultado cualquier otra orientación.

El hecho de que haya una cantidad de cantidades físicas interesantes que son multilineales hace que el cálculo del tensor sea potencialmente útil tanto en espacios planos como en espacios curvos (es solo que muchos estudiantes pueden ser introducidos a los tensores en el contexto de la relatividad).

En la relatividad general, el cálculo del tensor surge porque muchas de las cantidades interesantes son tensores de orden superior, como el tensor de curvatura de Riemann (y la curvatura del espacio-tiempo es importante porque está ligada a la gravedad).

Primero, cálculo. Esta es la matemática del cambio. Si una carretera se inclina hacia arriba, ¿cuánto aumenta su posibilidad de elevación por cada metro? (Metro = metro si eres estadounidense) o qué tan rápido cambia la posición de un automóvil deportivo por cada segundo que pasa. Esa es su velocidad, en metros por segundo (m / s) o kilómetros por hora (km / h). Y eso es. El cálculo tiene que ver con el cambio.

Imagina que estás corriendo para un autobús, quizás a 5 m / s. Esto describe cuánta distancia recorre en cada segundo, pero no de qué manera.
Las cantidades que solo necesitan un número para describirlas se llaman escalares.

Si quisieras decir en qué dirección estabas corriendo y qué tan rápido, puedes etiquetar algo como NE (noreste). Todo se lee: 5 m / s NE. Pero NE o NW son un poco vagos. Los marineros y los pilotos de líneas aéreas no dirían ‘norte’, dirían 000 (cero grados al este del norte). El noreste se convierte en 045, el este es 090, el NO es 270 y así sucesivamente. La dirección es otro escalar, puedes describirlo completamente con un número.

Velocidad + dirección (velocidad) necesita dos números para describirlo. Cantidades como esta se llaman vectores.

Una referencia de mapa necesita dos números, por lo que es un vector. Si estuvieras parado en la puerta de tu habitación y vieras una mosca zumbando, necesitarías tres números para decir dónde estaba: altura sobre el piso, distancia desde la pared con la puerta y distancia desde la pared en ángulo recto con la puerta .
Cualquier cosa que necesite tres o más números para describirlo se llama tensor.

La tasa de cambio de la posición de la mosca implica el cambio de una cantidad de tres números, un tensor, con el tiempo.
Eso es ‘cálculo tensorial’.

Las matemáticas detrás de las teorías de Einstein implican cambios en tres o cuatro dimensiones (¡ay!) Y estos cambios requieren cálculo tensorial.

Por lo tanto, allí.

Tome la idea de vectores (cantidades matemáticas multicomponentes que se transforman de acuerdo con reglas específicas) e imagine que los componentes mismos son vectores. Ahí tienes una idea general de los tensores. (Los vectores se consideran tensores de rango 1.)

El cálculo del tensor es necesario para hacer cálculos en el espacio-tiempo que pueden ser curvos. Aquí los cálculos deben tener en cuenta los efectos debidos a la curvatura de la región subyacente, así como a la física y la geometría relacionadas con la situación. Imagínese tratando de hacer geometría en un trampolín abollado por una pelota de béisbol. No solo debe tener en cuenta las relaciones matemáticas entre las cantidades mismas, sino también cómo la curvatura de la superficie subyacente contribuye al resultado.

Einstein usó tensores en la teoría general de la relatividad, porque equiparó la gravedad con la curvatura del espacio-tiempo. La geometría riemanniana, utilizada para describir espacios curvos, se formula tradicionalmente en tensores: matrices multidimensionales de valores numéricos. Una matriz bidimensional, sería una matriz. La dimensionalidad de la matriz se denomina orden (o grado) del tensor; una matriz bidimensional (matriz) es un tensor de segundo orden. La geometría riemanniana se define en términos de tensores como el tensor métrico de segundo orden que define la métrica (distancia entre dos puntos infinitamente cercanos) del espacio riemanniano; Tensor de curvatura de Riemann (o tensor de Riemann-Christoffel), que es un tensor de cuarto orden que define la curvatura del espacio riemanniano; Tensor de Ricci que es un tensor de segundo orden; Tensor de Einstein que también es un tensor de segundo orden basado; El tensor de Ricci es otro tensor de segundo orden que describe la curvatura que es particularmente importante para la relatividad general. El tensor de energía-momento de la materia es otro tensor de segundo orden. Las ecuaciones de campo de Einstein esencialmente equiparan el tensor de Einstein con el tensor de energía-momento de la materia. Un tensor es una generalización de un vector, que es un tensor de primer orden (una cantidad escalar es un tensor de orden cero). La ventaja de usar tensores para describir cantidades físicas se debe a la covarianza del tensor: las cantidades covariantes como los tensores se transforman bajo la transformación de coordenadas de la misma manera. Eso significa que una ecuación física formulada en tensores no cambiará bajo la transformación de coordenadas; esto se conoce como principio de covarianza general. Este principio es importante porque las coordenadas no tienen significado físico: son solo números arbitrarios asignados a cada punto del espacio. Las coordenadas no deben confundirse con los marcos de referencia. Las leyes físicas no deben cambiar (deben ser invariables) con respecto al cambio de coordenadas.

Debido al hecho de que el potencial del campo gravitacional en la Relatividad general se describe mediante el tensor métrico de segundo orden, el cuántico hipotético del campo gravitacional, el gravitón aún por descubrir, tiene un giro de 2.

Desafortunadamente, no todas las cantidades físicas en Relatividad General son tensores. Notablemente, el momento de energía del campo gravitacional en la Relatividad general no es un tensor, sino un pseudotensor, es decir, no es covariante (no se transforma como un tensor bajo transformación coordinada), lo que conduce a la violación de la conservación de energía en general Relatividad (la energía del campo de gravitación se desvanece en cualquier área del espacio mediante una elección arbitraria de coordenadas). En los años 70, cuando era un estudiante graduado, propuse reformular la Relatividad General en el espacio afín métrico (una generalización del espacio riemanniano donde la métrica y la conexión son independientes) donde la gravedad se describe por la llamada no metricidad (o deformación afina) ) tensor (que es un tensor de tercer orden). Esta formulación conserva las ecuaciones de campo de Einstein y la conservación de energía, porque el momento de energía del campo gravitacional se describe mediante un tensor verdadero (en lugar de un pseudotensor, como en Relatividad general).

El uso de tensores no es necesario para describir la geometría riemanniana o la relatividad general. Se pueden usar otros lenguajes matemáticos como formas diferenciales , tétradas o spinors . El uso de un formalismo matemático particular es una cuestión de gusto o conveniencia, no es intrínseco a la teoría física.

Cuando las cantidades consisten en un solo número que las describe, como la temperatura,
Usamos la palabra “escalar” para describirlos. Cuando una cantidad requiere más números, como una posición y una magnitud, como coordenadas espaciales o una magnitud y una dirección como una fuerza, llamamos a esas cantidades “vectores”.

Cuando tenemos cantidades que requieren más números, no solo una magnitud y una dirección, sino también una superficie de área orientada sobre la que actúan, entonces esas cantidades se llaman “tensores”, si obedecen una ley de transformación particular. El estrés y la tensión son ejemplos de cantidades tensoras.

Cuando hablamos de la forma del espacio, muy rápidamente estamos hablando
sobre las cantidades de tensor. Por lo tanto, la necesidad de Einstein de esto en la relatividad general.

Una explicación simple no detallada.

El cálculo trata con el cambio, el cálculo del tensor simplemente trata de cómo cambian los tensores. Los tensores se definen por la forma en que cambian cuando se transforman en un sistema de coordenadas diferente. Y se requiere cálculo para saber cómo cambian. Si P y Q son tensores en un sistema de coordenadas, y P = Q se satisface en ese sistema de coordenadas. Cuando se transforman en otro sistema de coordenadas, en general toman la forma P` = Q` (donde P` y Q` son tensores transformados, este resultado requiere conocimiento sobre los tensores, y esto expresa lo mismo en una ecuación del mismo forma como en el sistema de coordenadas original).

Según Einstein, las leyes físicas deben ser tales que sean ciertas en cualquier marco de referencia (es decir, sistemas de coordenadas, un punto sensible, ¿no es así?). Lo que es lo mismo que decir que las leyes de la física deben ser tales que si es cierto en un marco de referencia, debe ser cierto en todos los marcos de referencia. Las ecuaciones tensoras exhiben esta propiedad de ser verdaderas en todos los marcos de referencia, cuando son verdaderas en un marco de referencia. Por lo tanto, Einstein usó el tensor para construir sus teorías.

Las ecuaciones tensoras conservan la misma forma en cualquier sistema de coordenadas. Einstein quería una teoría que fuera igualmente válida en cualquier sistema de coordenadas, por ejemplo, tanto dentro como fuera de un elevador o elevador en caída, por lo que naturalmente utilizó tensores; una vez que se enteró de ellos por su amigo, Marcel Grossmann, eso es.