Son esencialmente lo mismo, aunque los dos términos tienden a usarse en diferentes contextos. Lo llama una traza parcial cuando tiene un espacio vectorial que es el producto tensorial de (no necesariamente) diferentes subespacios, y lo llama una contracción tensorial cuando el espacio en el que está actuando es el producto tensorial de copias del mismo espacio . Además, el término trazo parcial realmente llama la atención sobre los subespacios de multiplicando, mientras que el término contracción tensorial mantiene la atención limitada al objeto tensorial mismo. Pero aparte de estas diferencias estéticas nebulosas, no hay nada que distinga los dos conceptos.
Por ejemplo, supongamos que [math] v_i [/ math] es una base para el espacio vectorial [math] V [/ math]. Entonces [math] v_i \ otimes v_j [/ math] es una base para [math] V \ otimes V [/ math]. Un mapa [matemática] T [/ matemática] de [matemática] V \ otimes V [/ matemática] a [matemática] V \ otimes V [/ matemática] puede ser dada por su acción en [matemática] v_i \ otimes v_j [/ matemáticas] como
[matemáticas] T (v_i \ otimes v_j) = T_ {ij} ^ {i’j ‘} (v_ {i’} \ otimes v_ {j ‘}) [/ math]
- ¿Cómo resuelvo esta integral [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ dfrac {\ sin ^ 2x} {4 (\ cos ^ 4x + 2 \ sin ^ 4x) + 2 \ sen ^ 2 2x} \, dx [/ math]?
- ¿La función analítica tiene ciertas aplicaciones en ingeniería eléctrica?
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- Dada la opción, ¿qué se debe aprender primero: cálculo multivariable o física fundamental basada en cálculo (suponiendo que se tenga conocimiento de cálculo de variable única)?
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donde [math] T_ {ij} ^ {i’j ‘} [/ math] son los componentes de [math] T [/ math] y la suma sobre índices repetidos está implícita. Cuando dice que está haciendo un seguimiento parcial, menciona explícitamente si está sobre la primera o segunda copia de [math] V [/ math] porque las trata de manera diferente. Entonces, usted tiene un mapa lineal de [matemática] V [/ matemática] a [matemática] V [/ matemática] cuyos componentes están dados por [matemática] T_ {ij} ^ {ij ‘} [/ matemática] o uno con componentes [matemáticas] T_ {ij} ^ {i’j} [/ matemáticas]. Cuando contrata un tensor, da por sentado que las dos copias de [math] V [/ math] son canónicamente isomorfas (o coloquialmente, ‘lo mismo’) y permite las contracciones correspondientes a [math] T_ {ij } ^ {i’i} [/ math] y [math] T_ {ij} ^ {jj ‘} [/ math] también.
Realmente no hay una regla estricta sobre esto, pero creo que es que tratan de generalizar la misma idea básica en dos direcciones diferentes.
