Tiene alguna función [matemáticas] \ displaystyle U (x, y) [/ matemáticas]. También tenemos una fuerza [math] \ displaystyle {\ dfrac {\ partial U} {\ partial x}} \ hat \ imath + {\ dfrac {\ partial U} {\ partial y}} \ hat \ jmath [/ math ] Usaré estas y algunas herramientas del cálculo multivariante para mostrar que una fuerza conservadora [matemática] \ mathbf F [/ matemática] (es decir, una que es el gradiente de un campo escalar [matemático] U [/ matemático]) también es un fuerza independiente del camino (campo).
Necesitamos generalizar el teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores mayores que la línea [math] \ mathbb {R} [/ math]. Esto ha sido bien estudiado y se llama Teorema del gradiente .
Para comenzar, definamos la integral de la línea (sobre un campo vectorial) . Para algunos campos de fuerza (un campo vectorial), [math] \ mathbf F [/ math], tenemos una curva suave [math] C [/ math] que sigue alguna dirección [math] \ mathbf r [/ math] (Este podría ser el camino de una partícula). Tiene sentido que [math] \ mathbf r ‘(t) [/ math] (esto es equivalente a [math] \ frac {d \ mathbf r} {dt} [/ math]) es la trayectoria de nuestra partícula. Entonces tenemos la siguiente definición
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[matemáticas] \ displaystyle \ int \ limits_C \ mathbf F (\ mathbf r) \ cdot d \ mathbf r = \ int_a ^ b \ mathbf F (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t) \, dt \ tag {1} [/ math]
Esta animación de Wikipedia explica la definición visualmente. Se acompaña con el siguiente título: “La partícula (en rojo) viaja desde el punto a al punto b a lo largo de una curva C en un campo vectorial F. A continuación, en el dial a la derecha, se muestran los vectores del campo desde la perspectiva de partícula. A medida que cambia la orientación, las flechas del eje giran para ilustrar los cambios en la referencia. La flecha azul es el vector de campo relativo a la orientación actual de la partícula.
El producto punto del vector de desplazamiento (en rojo) y el vector de campo (en azul) da como resultado el valor representado como una barra verde. Esta barra “barre” un área a medida que la partícula viaja a lo largo del camino. Esta área es equivalente a la integral de línea “.
Ahora, supongamos que este campo vectorial [math] \ mathbf F [/ math] es el gradiente de un campo escalar [math] U [/ math]. Esto significa que [math] \ mathbf F [/ math] es un campo vectorial conservador, o una fuerza conservadora.
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla U = \ nabla U (x, y) = \ displaystyle {\ dfrac {\ partial U} {\ partial x}} \ hat \ imath + {\ dfrac {\ partial U} {\ partial y}} \ hat \ jmath = \ mathbf F \ tag {2} [/ math]
Ahora, observemos qué sucede cuando componimos la función de la partícula con respecto a algún parámetro (generalmente tiempo) [math] \ mathbf r (t) [/ math] con nuestro campo escalar [math] U [/ math].
[matemáticas] \ displaystyle (U \ circ \ mathbf r) (t) = U (\ mathbf r (t)) \ tag {3} [/ math]
Tomemos la derivada de esta composición con respecto a [math] t [/ math] teniendo en cuenta la regla de la cadena:
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {d} {dt} U (\ mathbf r (t)) = \ dfrac {dU (\ mathbf r (t))} {dt} = \ underbrace {\ nabla U (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t)} _ \ text {regla de cadena multivariante} \ tag {4} [/ math]
Dijimos anteriormente que [math] \ displaystyle \ nabla U = \ mathbf F [/ math] para que podamos decir más
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dU (\ mathbf r (t))} {dt} = \ nabla U (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t) = \ mathbf F (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t) \ tag {5} [/ math]
Sin embargo, este es exactamente el integrando (la expresión dentro de la integral) para nuestra integral de línea definida anteriormente:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ limits_C \ mathbf F (\ mathbf r) \ cdot d \ mathbf r = \ int_a ^ b \ boxed {\ mathbf F (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t )} \, dt \ tag {1} [/ math]
Haz la sustitución:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ mathbf F (\ mathbf r (t)) \ cdot \ mathbf r ‘(t) \, dt = \ int_a ^ b \ dfrac {dU (\ mathbf r (t))} {dt} \, dt \ tag {6} [/ math]
Usando el teorema fundamental del cálculo , obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int \ limits_C \ mathbf F (\ mathbf r) \ cdot d \ mathbf r = \ int_a ^ b \ dfrac {dU (\ mathbf r (t))} {dt} \, dt = U (\ mathbf r (b)) – U (\ mathbf r (a))} \ tag {7} [/ math]
Entonces, en conclusión, independientemente de qué curva [matemática] C [/ matemática] decidimos tomar, nuestro trabajo o la integral sobre [matemática] \ displaystyle \ mathbf F = \ nabla U [/ matemática] depende solo de los puntos de [math] r (b) [/ math] y [math] r (a) [/ math] y NO depende de la ruta entre los dos puntos, lo que equivale a que sea independiente de la ruta. Una línea integral sobre un campo vectorial conservador ([math] \ displaystyle \ mathbf F = \ nabla U [/ math]) es independiente de la ruta .
