La regla del producto del rizo es
[math] \ nabla \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) = \ mathbf {A} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) – \ mathbf {B} (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) [/ math] [math] + \, \ mathbf {B} \ cdot \ nabla \ mathbf {A} – \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B}. [/matemáticas]
Miremos primero el lado derecho. Si piensa en el campo vectorial [math] \ mathbf A [/ math] como un operador diferencial lineal [math] A ^ \ mu \ partial_ \ mu [/ math], el lado derecho resulta corresponder al conmutador de dos operadores diferenciales lineales [matemática] [A ^ \ mu \ partial_ \ mu, B ^ \ nu \ partial_ \ nu] [/ math]. Esto tiene una interpretación natural como el vector de déficit que encuentra cuando camina alrededor de un pequeño cuadrilátero con sus bordes definidos por los pequeños vectores dados por los campos vectoriales [math] \ mathbf A [/ math] y [math] \ mathbf B [ /matemáticas]. Esto se debe a que tomar una derivada a lo largo de un campo vectorial es similar a fluir a lo largo de la dirección del campo vectorial. Entonces, cuando aplica consecutivamente dos de estos operadores, significa que primero fluye a lo largo de un campo vectorial y luego a lo largo del otro. Entonces, tomar el conmutador significa que restas el efecto de fluir primero a lo largo de [math] \ mathbf A [/ math], luego a lo largo de [math] \ mathbf B [/ math] del que fluye primero a lo largo de [math] \ mathbf B [ / math], luego a lo largo de [math] \ mathbf A [/ math]. En otras palabras, esencialmente estás viendo el vector de déficit necesario para cerrar el cuadrilátero en cuestión.
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Ahora veamos el lado izquierdo. Tenemos dos campos vectoriales [math] \ mathbf A [/ math] y [math] \ mathbf B [/ math], lo que significa que tenemos dos pequeños vectores asignados a cada punto en el espacio. Estos dos pequeños vectores forman un elemento de área pequeña con el vector normal [math] \ mathbf A \ times \ mathbf B [/ math] en cada punto. La curvatura de esto le da cuánto gira este vector normal alrededor de un punto dado, es decir, cuál es su circulación alrededor de un pequeño bucle en el punto dado. Un pequeño pensamiento debería convencerlo de que esto y la cantidad correspondiente al conmutador son los mismos (¡haga una imagen!), Que es exactamente lo que le dice la regla del producto.
Una pregunta natural es si estos pequeños elementos de área se pueden unir para formar una pila de superficies que llenan el espacio en el que estamos trabajando. Tenga en cuenta que estas superficies podrían verse como las superficies equipotenciales de algún campo potencial. En este caso, la curvatura del gradiente hacia estas superficies (que es una función escalar multiplicada por [math] \ mathbf A \ times \ mathbf B [/ math]) se desvanecería. El hecho de que el rizo de un gradiente se desvanezca debería decirle que el rizo de [math] \ mathbf A \ times \ mathbf B [/ math] debe estar en el lapso de [math] \ mathbf A [/ math] y [math] \ mathbf B [/ math] porque la única contribución al rizo proviene de la variación del factor escalar a lo largo de la superficie. Además, si camina alrededor de un cuadrilátero con lados dados por el campo vectorial, no debe desviarse de la superficie en cuestión. Entonces, el conmutador debe estar en el lapso de [math] \ mathbf A [/ math] y [math] \ mathbf B [/ math]. Como puede ver, ambas formas de ver esta pregunta están de acuerdo. Lo cual se debe a que ambos enfoques son secretamente iguales.
