¿Cuáles son los axiomas de la lógica?

Supongo que la forma moderna es clasificar las lógicas como un tipo de álgebra abstracta y todas las álgebras abstractas son simplemente de la forma (G, •) donde G define cualquier objeto y • es cualquier operación binaria de los objetos que los devuelven a G.
Por lo tanto, a • b = c tiene que estar en G. Esto garantiza un encerramiento que a su vez nos da una vaga conciencia de que podría haber un problema con el tamaño … pero que debería solucionarse con una elección adecuada y delicada de axiomas.

Más allá de esto, puede agregar los axiomas que desee para crear una lógica.

Hay cientos, si no miles, de lógicas con diferentes axiomas.

Para determinar qué axiomas elegir, solo piense qué quiere que haga la lógica. Puedes legislar y ordenar una lógica para hacer tu voluntad, pero no será algo que puedas amar, o puedes liberarlo en el desierto inexpresable.

Los pensamientos más salvajes tienen las premisas más suaves.

Wigner se preguntó sobre la “efectividad irrazonable de las matemáticas”. El mismo pensamiento puede sostenerse sobre los axiomas de la lógica.

En términos simples, axiomas es una lista de declaraciones que se toman como declaraciones verdaderas sin necesidad de pruebas. Después de haber elegido el conjunto de axiomas y el sistema lógico (la respuesta de Alan Bustany a ¿Cuáles son los axiomas de la lógica? Explica muy bien los sistemas lógicos para la lógica proposicional y de primer orden), puede comenzar a probar cosas.

Como resultado, lo que puede probar en un sistema lógico determinado depende de los axiomas que haya elegido. Es posible que estos axiomas no sean únicos y tal vez incluso parezcan arbitrarios. Dicho esto, no es fácil tomar un conjunto de afirmaciones como axiomas, ya que esto puede conducir rápidamente a teoremas que se contradicen entre sí y causan inconsistencia (no hay nada que los matemáticos odien más).

Un punto interesante es que en la teoría de conjuntos (pertenece a la lógica de primer orden) actualmente hay dos conjuntos de axiomas ampliamente utilizados. ZFC y ZF. La diferencia está en ZF, el axioma C (axioma de elección) no está incluido y, como resultado, hay ciertas afirmaciones que se pueden demostrar que son verdaderas en ZFC no se pueden probar en ZF. La mayoría de las matemáticas convencionales usan ZFC. Gödel en su teorema de incompletitud mostró algunos hechos profundamente filosóficos e importantes sobre la naturaleza de la lógica misma. Le recomiendo que lea sobre esto para obtener una comprensión más profunda de los problemas relacionados con los sistemas lógicos axiomáticos.

Un axioma es cualquier enunciado matemático que sirve como punto de partida del cual se derivan lógicamente otros enunciados. Por lo tanto, no pueden derivarse por principios de deducción, ni son demostrables por pruebas matemáticas. Son lógicamente diferentes de los teoremas.

ej. Axioma de igualdad: x = x; Para cada valor de x, es igual a sí mismo.

Nota: Sin embargo, un axioma en un sistema puede ser un teorema en otro, y viceversa.

Lista de axiomas Vaya a esta página wiki y lea la lista.

Para lo que vale, aquí hay una respuesta que puede encontrar interesante. Creo que en los viejos tiempos, antes del último siglo o dos y la proliferación de la “lógica simbólica” (lógica proposicional y lógica predicada) y lógicas no estándar (como lógica modal, lógica difusa y lógica multivalor), los filósofos solían hablar de tres “leyes de la lógica” básicas. Tal vez podría pensar en estos como “axiomas”. Eran la ley de la identidad, la ley del medio excluido y la ley de la contradicción. La ley de identidad era algo así como A = A, en otras palabras, una cosa (o término o declaración) es lo que es, es idéntico a sí mismo. La ley del medio excluido era algo así como una declaración (o proposición) es verdadera o falsa pero no ambas. Y la ley de contradicción, que probablemente debería haberse llamado la ley de no contradicción, pero no fue por alguna razón que no recuerdo o sé, es que “no ambos (A y no A)”, en otras palabras, una declaración y sus contradictorias no son ambas verdaderas. Quizás todo esto regrese a Aristóteles, no recuerdo. No estoy seguro de si esta respuesta es precisa sobre los “axiomas”, pero sí recuerdo a los filósofos durante siglos refiriéndose a ellos como las “leyes lógicas” básicas. Por supuesto, la lógica fue mucho más allá de estos, ya sea a través de silogismos y el “cuadrado de oposición” de la lógica aristotélica, o las reglas de la lógica simbólica más moderna desarrollada en los últimos doscientos años más o menos.

Existen diferentes lógicas, pero le sugiero que comience con: lógica de primer orden.

Hay algunas reglas básicas sobre lo que constituye una operación lógica, pero sospecho que estás buscando algo como axiomas matemáticos. El equivalente a estas son premisas lógicas que pueden ser muchas y variadas y que los participantes deben acordar en una discusión para que sea fructífera.