Cómo demostrar [matemáticas] | x | = \ sqrt {x ^ 2} [/ matemáticas]

Estamos tratando de probar

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = | x | [/ matemáticas]

o equivalente,

[math] \ sqrt {x ^ 2} = \ begin {cases} x & \ text {if} x \ geq0 \\ – x & \ text {if} x <0 \ end {cases} [/ math]

o equivalente,

[matemáticas] \ begin {cases} \ sqrt {x ^ 2} = x & \ text {if} x \ geq0 \\\ sqrt {x ^ 2} = – x & \ text {if} x <0 \ end {cases} [/matemáticas]

Para probar la primera parte, notamos que [math] \ sqrt {x} [/ math] es el inverso de [math] x ^ 2 [/ math]. [math] \ sqrt {x} [/ math] es biyectivo, desde [math] [0 \,. \,. \, \ infty) \ a [0 \,. \,. \, \ infty) [/ math ] Por lo tanto, si limitamos el dominio de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] [0 \,. \,. \, \ Infty) [/ matemáticas], serán inversas perfectas y [matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ math] será verdadero. Por lo tanto, [math] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ math] para [math] x \ in [0 \,. \,. \, \ Infty) [/ math], o en otras palabras para [math ] x \ geq0 [/ math].

Para probar el segundo, suponga [matemáticas] x <0 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2 = (- x) ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {(- x) ^ 2} [/ math]. Desde aquí, [math] -x \ in [0 \,. \,. \, \ Infty) [/ math], sabemos por la sección anterior que [math] \ sqrt {(- x) ^ 2} = - x [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ sqrt {x ^ 2} = - x [/ math] para [math] x <0 [/ math].

Indique claramente que ambos lados son valores positivos. El valor absoluto de un número siempre da un valor positivo. Además, la raíz cuadrada de un valor significa que este valor es positivo (que es nuestro caso – x al cuadrado), y da un valor positivo.

En base a estos dos puntos verdaderos, podemos comparar sus respectivos valores al cuadrado.

El lado izquierdo al cuadrado da / X / 2, que es igual a X2, y el lado derecho también da X2. Ambos son iguales, por lo que concluimos que nuestra afirmación inicial es verdadera