¿Cuál es la prueba de Wallis Formula?

En primer lugar, gracias a Unni por esta hermosa pregunta.

Pero antes de escribir nada, déjenme estar seguro de la pregunta porque estos grandes hombres, seguían descubriendo cosas nuevas cada dos días y con el mismo nombre. Entonces se vuelve confuso a veces.

Entonces, ¿estás hablando de esto?

[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} = \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5 } \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7}… [/ matemáticas]

En caso afirmativo, ¿debo intentarlo? Prepárese para presenciar la brillantez de dos genios Euler y Wallis.

Entonces, comencemos.

Sabemos que la expansión de la serie Taylor de [math] sin (x) = x- \ frac {x ^ {3}} {3!} + \ Frac {x ^ {5}} {5!} – \ frac {x ^ {7}} {7!}… [/ Matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = 1- \ frac {x ^ {2}} {3!} + \ Frac {x ^ {4}} {5!} – \ frac { x ^ {6}} {7!} +… [/ matemáticas]

Ahora, reemplazando [math] x [/ math] con [math] \ sqrt {y} [/ math] en la expresión anterior de [math] sin (x) [/ math] obtenemos,

[matemáticas] sin (\ sqrt {y}) = \ sqrt {y} – \ sqrt {y} \ frac {y} {3!} + \ sqrt {y} \ frac {y ^ {2}} {5! } – \ sqrt {y} \ frac {y ^ {3}} {7!} +… [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {sin (\ sqrt {y})} {\ sqrt {y}} = 1- \ frac {y} {3!} + \ frac {y ^ {2}} {5!} – \ frac {y ^ {3}} {7!} +… [/ math]

Entonces, para encontrar las raíces de la expresión polinómica anterior, debemos igualarla a [math] 0 [/ math].

Es observable que sus raíces ocurren solo cuando [math] \ sqrt {y} = 0 [/ math] y [math] y = 0 [/ math] no es una raíz porque en [math] y = 0, [/ math ] [matemáticas] \ frac {sin (\ sqrt {y})} {\ sqrt {y}} = 1 [/ matemáticas] y no [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] sin (\ sqrt {y}) = sin (n \ pi) [/ math]

o, [matemáticas] \ sqrt {y} = n \ pi [/ matemáticas]

o, [math] y = n ^ {2} \ pi ^ {2} [/ math] donde [math] n [/ math] es cualquier número entero distinto de cero. Por lo tanto, [matemáticas] y = \ pi ^ {2}, 4 \ pi ^ {2}, 9 \ pi ^ {2}… [/ matemáticas]

Ahora, si miramos solo ecuaciones polinómicas de grado finito, de forma general [matemáticas] f (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} +… + a_ {1} x + 1 = 0 [/ matemáticas], con las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] r_ {1}, r_ {2}, … r_ {n} [/ matemáticas], entonces es plausible (y cierto) que

[matemáticas] f (x) = \ left (1- \ frac {x} {r_ {1}} \ right) \ left (1- \ frac {x} {r_ {2}} \ right)… \ left ( 1- \ frac {x} {r_ {n}} \ right) = 0 [/ math] ya que esta expresión obviamente tiene las mismas raíces y ambas formas de [math] f (x) [/ math] son ​​tales que [math ] f (0) = 1 [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ frac {sin (y)} {y} = 1- \ frac {y ^ {2}} {3!} + \ frac {y ^ {4}} {5!} – \ frac {y ^ {6}} {7!} +… [/ Matemáticas]

[matemáticas] = \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {r_ {1}} \ right) \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {r_ {2}} \ right) \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {r_ {3}} \ right) … [/ math]

Reemplazando las raíces o los valores de [math] r_ {1} [/ math], [math] r_ {2}… [/ math], y así sucesivamente en la expresión anterior obtenemos,

[matemáticas] = \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {\ pi ^ {2}} \ right) \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {4 \ pi ^ {2 }} \ right) \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}} \ right) … [/ math]

[matemática] = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}} \ right) [/ math]

Es decir,

[matemáticas] sin (y) = y \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ frac {y ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}} \ right )[/matemáticas]

Cuál es la famosa fórmula del producto de Euler para [math] sin (y) [/ math] que apareció en su Introducción de 1748 en Analysis Infinitorum. Ahora, deje que [math] y = \ frac {\ pi} {2} [/ math]. Luego,

[matemáticas] 1 = \ frac {\ pi} {2} \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ frac {\ pi ^ {2} / 4} {n ^ {2} \ pi ^ {2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ pi} {2} \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ frac {1} {4n ^ {2}} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ pi} {2} \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {4n ^ {2} -1} {4n ^ {2}} \ right) [ /matemáticas]

O,

[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} = \ frac {1} {\ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {4n ^ {2} -1} {4n ^ {2 }} \ right)} [/ math]

O,

[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} = \ frac {1} {\ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {(2n-1) (2n + 1)} {( 2n) (2n)} \ right)} [/ math]

O, [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} = \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {2n} {2n-1} \ right) \ left (\ frac {2n } {2n + 1} \ right) [/ math]

Por lo tanto, finalmente obtenemos la llamada fórmula hermosa de Wallis .

[matemáticas] \ frac {\ pi} {2} = \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5 } \ cdot \ frac {6} {5} \ cdot \ frac {6} {7}… [/ matemáticas]

Eso es todo. Pero antes de terminar mi respuesta, será muy injusto de mi parte si no hago esto.

Felicitaciones a los dos Sr.Euler y Sr.Wallis. gracias por tan bellas y alucinantes trabajos sobre este hermoso tema … seguiremos en deuda con usted mientras haya algo llamado Matemáticas …

Rectifícame si estoy equivocado porque me falta capacitación en matemáticas superiores.

¡¡¡Gracias por leer!!!