Si [matemáticas] x ^ x = \ pi [/ matemáticas] ¿cuál es el valor de x?

Las otras respuestas hacen un gran trabajo al darle una solución exacta en términos de Lambert W, pero si desea una aproximación numérica, hay muchos enfoques claros. Mi enfoque favorito (aunque lejos de ser el más eficiente) es el método de iteración de punto fijo. La idea es diseñar una función [matemática] f [/ matemática] de manera que la solución a su ecuación, [matemática] x [/ matemática], sea un punto fijo de la función [matemática] f [/ matemática] para que [ matemáticas] x = f (x) [/ matemáticas].

Muchas funciones satisfacen esta condición, pero la más fácil de encontrar con su ecuación funciona muy bien. Si tomamos su ecuación original y elevamos cada lado a la potencia de [matemática] \ frac 1x [/ matemática], obtenemos la ecuación [matemática] x = \ pi ^ {\ frac 1x} [/ matemática]. Entonces parece que [math] f (x) = \ pi ^ {\ frac 1x} [/ math] tiene un punto fijo como la solución a su ecuación.

El método luego nos dice que hagamos una suposición inicial sobre una solución. Supongo que [matemática] x_0 = 1 [/ matemática] porque no quiero desperdiciar mucha energía para averiguar cuál es la respuesta más allá de observar que es positiva y debe ser mayor que [matemática] 1 [/ matemática]. Luego configuramos la secuencia definida recursivamente:

[matemáticas] x_ {n + 1} = f (x_n) [/ matemáticas]

Observe que si esta secuencia tiene un límite finito, [matemática] x [/ matemática], entonces el límite debe satisfacer [matemática] x = f (x) [/ matemática] y debe ser una solución.

Una computadora puede calcular los términos de la secuencia muy rápidamente. Este método no converge tan rápido como otros, por lo que se necesitan 75 términos para converger con la precisión de mi máquina (que es aproximadamente [matemática] 10 ^ {- 16} [/ matemática]).

Aquí están los primeros diez términos:

1.000000000000000
3.141592653589793
1.439619495847591
2.214798485754675
1.676746144902025
1.979232454833409
1.783130650448816
1.900235017942532
1.826524350058885
1.871472910226993

Y aquí está el término 75:

[matemáticas] 1.854105967921026 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ x = \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x ln (x) = ln (\ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ln (x)} ln (x) = ln (\ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (x) = W ln (\ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {Wln (\ pi)} [/ matemáticas]

donde [math] W [/ math] es la función lambert.

.

.

La otra forma de verlo.

Si traza la gráfica [matemáticas] y = x ^ x [/ matemáticas]

y [matemáticas] y = \ pi [/ matemáticas]

la intersección del punto es la solución que es

[matemáticas] x = 1.85 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ x = \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ x – \ pi = 0 [/ matemáticas]

Deje [math] f (x) = x ^ x – \ pi [/ math]

Las raíces se pueden aproximar con el método Newton-Raphson.

[matemáticas] f ‘(x) = x ^ x (\ ln x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x ^ x – \ pi} {x ^ x (\ ln x + 1)} [/ matemáticas]

Comenzaré con [matemáticas] x_0 = 1.85 [/ matemáticas]

Lo calculé con 10,000 dígitos de precisión porque así es como me gusta, pero lo mostraré redondeado a 50 dígitos:

[matemáticas] 1.8541059679210264327483707184102932454292326750273 [/ matemáticas]

Solo tiene que calcular hasta [matemáticas] x_5 [/ matemáticas] para obtener ese nivel de precisión.

Si eleva ese número a sí mismo, obtendrá pi a 49 dígitos de precisión.

Podría responder a 10000 dígitos como un comentario a mi respuesta solo para presumir, y para que la gente no tenga que desplazarse para siempre para pasar mi respuesta 🙂

Si [matemática] x ^ x = \ pi [/ matemática], entonces también [matemática] x \ log x = \ log \ pi [/ matemática] o [matemática] x \ log x- \ log \ pi = 0 [/ matemáticas]. Esto permite una configuración fácil para el método de Newton en el que si [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] y [matemática] x_n [/ matemática] es una solución aproximada, entonces la siguiente solución, mucho mejor, es

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {f (x)} {f ‘(x)} [/ matemáticas]

Esto se traduce en

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ frac {x \ log x- \ log \ pi} {1+ \ log x} [/ matemáticas]

Comenzando con 2:

[matemáticas] x_1 = 2. [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 1.85732812950697 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = 1.85410769512315 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_4 = 1.85410596792152 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_5 = 1.85410596792103 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_6 = 1.85410596792103 [/ matemáticas]

Observe la precisión decimal 2 en el paso 2, 5 en el paso 3, 12 en el paso 4; converge sorprendentemente rápido.

Hice esto en otra página, la respuesta de Ryan Howe a If x ^ x = 2, ¿cuál es el valor de x?

con 2. Se aplica el mismo método.

[matemáticas] x ^ {x} = \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] xln (x) = ln (\ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {ln (x)} ln (x) = ln (\ pi) [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (x) = W (ln (\ pi)) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {W (ln (\ pi))} [/ matemáticas]

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} x ^ x & = \ pi \\ x \ ln x & = \ ln \ pi \\\ ln xe ^ {\ ln x} & = \ ln \ pi \\\ ln x & = W ( \ ln \ pi) \\ x & = e ^ {W (\ ln \ pi)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

donde [math] W (x) [/ math] es la función Lambert W, también conocida como la función ProductLog.

[matemáticas] x ^ x \ = \ \ pi \ \ Rightarrow \ x \ \ ln \ x \ = \ \ ln \ \ pi [/ math]

[math] \ Rightarrow \ \ ln \ x \ e ^ {\ ln \ x} \ = \ \ ln \ \ pi [/ math]

[math] \ Rightarrow \ \ ln \ x \ = \ W (\ ln \ \ pi) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ x \ = \ e ^ {W (\ ln \ \ pi)} [/ math]

Donde [math] W [/ math] es la función Lambert- [math] W [/ math].

Por prueba x = 1.8541, produce 3.141562329, que es pi correcto a 4 decimales.