Mi tentación es argumentar que este no es principalmente el tipo de beneficio que debe esperar de aprender teoría de categorías. Estos son los tipos de beneficios que realmente obtiene:
- Se hace más fácil recordar y razonar sobre muchas definiciones porque se convierten en casos especiales de definiciones generales de categorías teóricas. Por ejemplo, muchas construcciones interesantes en matemáticas son functores adjuntos.
- Una vez que sepa que una definición es un caso especial de una definición teórica de categoría general, puede usar otras especializaciones de la definición general para descubrir o adivinar cómo se comporta su definición. Por ejemplo, si sabe que un functor que le interesa es un adjunto izquierdo, entonces ya sabe que conserva los colimits, pero también sabe que no tiene ninguna razón para esperar que conserve los límites.
- Se hace posible hacer ciertos tipos de preguntas que de otro modo serían muy difíciles de precisar. Por ejemplo, ¿qué es realmente el endomorfismo de Frobenius, y existe un análogo del mismo en la característica cero? Es imposible hacer esta pregunta con precisión hasta que conozca suficiente teoría de categoría para describir de manera clara qué es realmente el endomorfismo de Frobenius, que es que es un endomorfismo natural del functor de identidad en conmutativo [math] \ mathbb {F} _p [/ math] – álgebras Ahora puede hacer una pregunta precisa que no podría hacer sin saber qué son las transformaciones naturales: ¿hay un endomorfismo natural interesante del functor de identidad en, por ejemplo, todos los anillos conmutativos? La respuesta es no, y puedes probar esto usando el lema de Yoneda; ¿Es Frobenius el único automorfismo mágico? para detalles.
Aquí hay un ejemplo que podría aparecer en el nivel de pregrado. Una de las primeras partes de la “teoría de categorías en otras matemáticas” que encontré fue la reciprocidad de Frobenius (representación inducida) en la teoría de la representación, que creo que es muy difícil de entender sin comprender qué son los functores adjuntos. Una vez que entiendes los adjuntos, la reciprocidad de Frobenius es solo la afirmación de que la restricción es correcta junto a la inducción, y creo que antes de comprender esta afirmación, realmente no has entendido qué son las representaciones inducidas. Todo lo que sabes es que es esta construcción útil la que tiene algunas definiciones equivalentes e igualmente misteriosas, pero una vez que te has vuelto un poco más cómodo con el yoga de los functores adjuntos, la reciprocidad de Frobenius te dice de inmediato que la construcción de representación inducida se puede escribir
[matemáticas] \ text {Ind} _H ^ G (V) = \ mathbb {C} [G] \ otimes _ {\ mathbb {C} [H]} V; [/ math]
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Este es un caso especial de un resultado más general sobre la restricción de módulos.
El punto que realmente quiero hacer aquí es que no es que la teoría de categorías me haya ayudado a entender la prueba de reciprocidad de Frobenius; en cierto sentido, casi no hay pruebas para entender. Es que la teoría de categorías me ayudó a entender de dónde viene la definición de la representación inducida en primer lugar.
Aquí hay un ejemplo que parece un poco más alto que el nivel de pregrado. Una clase característica es una forma de asignar, por ejemplo, un paquete de vectores a una clase de cohomología de una manera particularmente agradable; son útiles como una forma de distinguir paquetes de vectores. Puede escribir muchas clases características de manera más o menos explícita, pero queda una pregunta persistente: ¿las ha escrito todas o le quedan más por encontrar?
No puede responder esta pregunta hasta que sea más específico acerca de qué es realmente una clase característica, y una vez que conoce suficiente teoría de categoría, puede decir lo correcto, que es que una clase característica es una transformación natural entre un functor de paquete vectorial y Un cohomology functor. Una vez que sepa además que el primer functor es representable, entonces el lema de Yoneda le dice que una clase característica es precisamente una clase de cohomología en un espacio de clasificación. Redujo una pregunta que parecía ser sobre todos los espacios a una pregunta sobre un espacio en particular, y en particular una vez que calcula la cohomología de este espacio en particular, ha encontrado todas las clases características, y puede estar seguro de que no No te pierdas ninguno. Creo que este argumento se debe originalmente a Serre. (¡Pero el punto es que no necesitaba ser Serre para resolver esto! Solo necesitaba saber qué son las transformaciones naturales y el lema de Yoneda).
