¿Cuál es el número más pequeño de 3 dígitos con los factores los primeros 3 números primos y los primeros 3 números compuestos?

El número más pequeño es el mínimo común múltiplo (LCM) de [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 5 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] 6 [/ matemática] y [matemática] 8 [/ matemáticas]. Así que tome el producto de la potencia más alta de cada primo que aparece en cualquier factorización prima presente. Encontramos [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática], [matemática] 3 ^ 1 [/ matemática] y [matemática] 5 ^ 1 [/ matemática], y su producto es [matemática] 120 [/ matemática]. Afortunadamente, tiene [matemáticas] 3 [/ matemáticas] dígitos, así que hemos terminado.

El mínimo común múltiplo de dos números es también el producto de esos números, dividido por su máximo común divisor (MCD). El máximo común divisor es el producto de la menor potencia de cada primo que aparece en cualquier factorización prima presente. También se puede calcular sin ninguna factorización prima utilizando el algoritmo de Euclides. Aquí demostraré que tenemos que trabajar en parejas:

Para los números primos que es fácil, el mínimo común múltiplo es simplemente su producto, [matemáticas] 30 [/ matemáticas]. Ahora, podemos omitir [matemáticas] 6 [/ matemáticas] porque [matemáticas] 6 | 30 [/ matemáticas], y podemos omitir [matemáticas] 4 [/ matemáticas] porque [matemáticas] 4 | 8 [/ matemáticas]. Entonces, necesitamos el mínimo común múltiplo de [matemáticas] 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] 30 [/ matemáticas].

El algoritmo de Euclides proporciona el GCD de la siguiente manera: usaré corchetes para mostrar que este algoritmo realmente trata los enteros como “vectores” y “escalares”, los vectores están entre corchetes:

[matemáticas] [30] = 3 \ cdot [8] + [6] [/ matemáticas]

[matemáticas] [8] = 1 \ cdot [6] + [2] [/ matemáticas]

[matemáticas] [6] = 3 \ cdot [2] + [0] [/ matemáticas]

Por lo tanto, el MCD de [matemática] 30 [/ matemática] y [matemática] 8 [/ matemática] es [matemática] 2 [/ matemática], el resto precede al resto [matemática] 0 [/ matemática]. Observe que el algoritmo muestra directamente que cada “vector” involucrado puede descomponerse en múltiplos “escalares” del “vector” [matemático] [2] [/ matemático], pero no por un “vector” no cero más pequeño.

Esto es obvio en otro sentido, porque [matemática] 8 = 2 ^ 3 [/ matemática] y [matemática] 30 = 2 (3) 5 [/ matemática], pero el formalismo muestra que no necesitamos conocer las factorizaciones primas de estos números ¡Por lo tanto, el algoritmo puede funcionar para números muy grandes cuyas factorizaciones primas pueden ser prácticamente imposibles de obtener!

El LCM viene dado por [math] (30 \ cdot 8) / 2 = 120 [/ math].

120

Los primeros tres primos:

  • 2
  • 3
  • 5 5

Los primeros tres números compuestos

  • 4 = 2 ^ 2
  • 6 = 2 * 3
  • 8 = 2 ^ 3

Entonces, el número más pequeño divisible por los seis debe ser:

2 ^ 3 * 3 * 5

= 8 * 3 * 5

= 120

A2A, gracias.

El número con los factores que enumera se determina de manera única y no es un número de 3 dígitos.

Los tres primos más bajos son: 2, 3, 5.

Los tres compuestos más bajos son: 4, 6, 8.

Su producto es: 8! / 7 = 5760, pero tiene 4 dígitos.

Creo que son 120. Números primos: 2, 3, 5; Números compuestos: 4, 6, 8.