tl; dr: La conjetura de Atiyah-Floer es una formulación matemática de la declaración física, “La reducción dimensional de la teoría 4-D de Yang-Mills en [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ times X [/ math] es la teoría del modelo sigma de cadenas que se propagan en [math] \ mathcal {M} (X) [/ math] “. Relaciona dos herramientas poderosas en topología simpléctica y de baja dimensión.
Reducción Dimensional
La conjetura de Atiyah-Floer es una formalización matemática de un caso específico de reducción dimensional en la teoría cuántica de campos. Suponga que tiene una teoría de campo cuántico definida en un espacio-tiempo dimensional [matemático] n [/ matemático]. Ahora considere esta teoría del campo cuántico en un espacio-tiempo de la forma [math] \ mathbb {R} ^ k \ times X [/ math], donde [math] X [/ math] es un [math] (n – k) [ / math] -dimensional múltiple. Si toma el límite ya que el “radio” de [matemática] X [/ matemática] se reduce a cero, debe esperar obtener alguna teoría de campo cuántico efectiva definida en el [matemático] \ mathbb {R} ^ k [/ restante matemática], y esta teoría efectiva debería depender de la geometría de [matemática] X [/ matemática]. (Imagen a continuación de http://www.fysik.su.se/~troms/po…)
- ¿Tienes algún problema lógico realmente difícil?
- ¿Cuáles son las pruebas más inusuales pero elegantes?
- Cómo derivar la fórmula determinante de una matriz 3 × 3 sin usar la definición algebraica
- ¿Cuál es la mayor paradoja matemática insoluble?
- En matemáticas, ¿cómo PROBAS algo?
Por ejemplo, si la teoría con la que comienza es simplemente la relatividad general (dejando de lado los problemas de la gravedad cuántica) en cinco dimensiones, y reduce una dimensión a un círculo pequeño, obtendrá la relatividad general en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones restante, más el electromagnetismo, donde la velocidad alrededor del círculo reducido funciona como la carga. Este es el mecanismo Kaluza-Klein, y fue una unificación propuesta de la gravedad y el electromagnetismo.
Instanton Floer Homology
Para la conjetura de Atiyah-Floer, consideramos que nuestra teoría inicial es una variante de la teoría de cuatro dimensiones (Euclidiana) Yang-Mills, llamada homología de instanton Floer. En la ruta integral para la teoría normal de Yang-Mills, uno se integraría sobre todas las configuraciones de campo posibles [matemática] A (t, \ vec x) [/ matemática], ponderada por la fase [matemática] e ^ {i S_ {YM} [A]} [/ math], donde [math] S_ {YM} [/ math] es la acción de Yang-Mills. Sin embargo, en la homología de instanton Floer, solo incluimos los campos con acción mínima, llamados instantones, en la ruta integral. Como todas las instancias tienen la misma acción, y dado que solo hay un número finito de ellas, la integral de ruta es en realidad solo un recuento finito de instancias que se propagan entre configuraciones de campo fijas entrantes y salientes. Como resultado, la homología de instanton Floer se convierte en una teoría de campo cuántico topológico (TQFT, ver Wikipedia, nLab), lo que significa que no tiene observables locales, solo datos globales.
Modelos Sigma y homología Symplectic Floer
Ahora, antes de llegar a la declaración de la conjetura de Atiyah-Floer, describiré el tipo de teoría que esperaremos obtener cuando tomemos la reducción dimensional de la homología de instanton Floer. En el enfoque de la teoría cuántica de campos que he estado discutiendo, la idea básica es que hay campos [matemática] A (t, \ vec x) [/ matemática], que son funciones en el espacio-tiempo. Un enfoque alternativo, llamado modelo sigma, considera mapas [math] \ mathbb {R} ^ {k + 1} \ to M [/ math], que consideramos como [math] k [/ math] -dimensional branas que se propagan en el espacio-tiempo [matemáticas] M [/ matemáticas]. Si [math] k = 0 [/ math], estas son las líneas del mundo de las partículas, y si [math] k = 1 [/ math], son las hojas del mundo de las cadenas (imagen a continuación de wikipedia).
Un ejemplo de un modelo sigma está dado por la homología de Floer simpléctica. En esta configuración, [math] M [/ math] es un múltiple simpléctico, y consideramos que las cadenas se propagan en [math] M [/ math]. Hay una acción funcional [math] S_ {symplectic} [/ math], y en la teoría del campo cuántico completo, nos integraríamos en todas las hojas del mundo posibles, ponderadas por [math] e ^ {i S_ {symplectic}} [/ math ] Sin embargo, de nuevo, solo consideramos las hojas del mundo de acción mínima, que se llaman curvas J-holomórficas, ya que la ecuación de Euler-Lagrange que satisfacen es similar a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Como antes, esto reduce la ruta integral a una suma finita (simplemente contando las curvas J-holomorfas), y nuevamente obtenemos un TQFT.
Conjetura de Atiyah-Floer
Ahora, puedo establecer la conjetura de Atiyah-Floer en la siguiente forma. Suponga que considera la homología de instanton Floer en un espacio-tiempo de la forma [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ times X [/ math]. Luego, en el límite a medida que reducimos [matemática] X [/ matemática] a cero, la homología instantánea Floer se convierte en la homología simplética Floer de mapas [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ to \ mathcal {M} (X) [ /matemáticas]. Este [math] \ mathcal {M} (X) [/ math] que aparece es un cierto espacio de módulo, una variedad de dimensiones superiores asociada a [math] X [/ math]. Más precisamente, es el espacio de módulo de las conexiones planas [matemáticas] SU (2) [/ matemáticas] en [matemáticas] X [/ matemáticas], o de manera equivalente, el espacio de módulos de representaciones grupales [matemáticas] \ rho: \ pi_1 ( X) \ a SU (2) [/ matemáticas]. Por lo tanto, la conjetura de Atiyah-Floer dice que la reducción dimensional de la homología instantánea de Floer es una homología de Floer simpléctica. De hecho, dice aún más, ya que dice que esta reducción dimensional es reversible, y de hecho hay un isomorfismo entre las dos TQFT.
Topología de baja dimensión
Finalmente, me gustaría explicar un poco sobre la configuración matemática de la conjetura de Atiyah-Floer, que es una topología de baja dimensión, el estudio de múltiples de 3 y 4 dimensiones. Elija su colector liso tridimensional favorito [matemática] Y [/ matemática]. Ahora, puede considerar la homología de Instanton Floer en el cilindro [math] \ mathbb {R} \ times Y [/ math], donde pensamos en [math] Y [/ math] como espacio y [math] \ mathbb {R } [/ math] como tiempo. Al igual que con cualquier TQFT, hay un espacio vectorial de dimensiones finitas de estados de campos en [matemática] Y [/ matemática], digamos [matemática] V [/ matemática]. La ruta integral de [matemática] t = – \ infty [/ matemática] a [matemática] t = \ infty [/ matemática] da un mapa lineal [matemática] \ parcial: V \ a V [/ matemática], que en matriz la forma tiene [math] (\ partial) _ {ij} [/ math] igual al número de instancias que se limitan al estado [math] j [/ math] como [math] t \ to – \ infty [/ math] y state [matemáticas] i [/ matemáticas] como [matemáticas] t \ to \ infty [/ matemáticas]. Un análisis bastante complicado muestra que tenemos [matemática] \ parcial ^ 2 = 0 [/ matemática], por lo que podemos calcular la homología,
[math] HF_ {instanton} (Y) = \ ker (\ partial) / \ text {im} (\ partial). [/ math]
(Esto es en realidad lo que la gente llama homología de instanton Floer, barrí esto debajo de la alfombra antes). Este espacio vectorial, como la homología ordinaria, es una invariante topológica, y puede usarse para detectar cambios en la estructura lisa en cuatro colectores con límite [matemática] Y [/ matemática].
Ahora, supongamos que tenemos una división Heegaard de [matemáticas] Y [/ matemáticas]. Esta es una descomposición de [matemática] Y [/ matemática] como la unión de dos múltiples [matemática] Y ^ \ pm [/ matemática] a lo largo de una superficie límite común [matemática] \ Sigma [/ matemática], que se muestra a continuación (imagen tomada de referencia [1]).
Ahora, como antes, podemos reducir [math] X [/ math], y en el límite la conjetura de Atiyah-Floer establece que la homología de instanton Floer debería convertirse en la homología simpléctica de Floer [math] \ mathcal {M} (X) [/matemáticas]. A la luz de esta perspectiva, la conjetura de Atiyah-Floer relaciona dos invariantes topológicos, que son herramientas independientes y poderosas para estudiar la topología de múltiples de 3 y 4 dimensiones.
Referencias
- Atiyah, Michael. “Nuevos invariantes de múltiples de 3 y 4 dimensiones”. La herencia matemática de Hermann Weyl (Durham, NC, 1987) 48 (1988): 285-299.
- Donaldson, Simon Kirwan. Grupos de homología de Floer en la teoría Yang-Mills . Vol. 147. Cambridge University Press, 2002
