Cantor usó su argumento diagonal para mostrar que algunos conjuntos infinitos son en realidad “más grandes” que el conjunto de enteros positivos.
Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si es posible emparejar cada elemento del primer conjunto con cada elemento del segundo conjunto, sin duplicar y sin dejar nada. Puedes pensar en la cardinalidad como una medida del tamaño de un conjunto.
Ahora emparejar los elementos de un conjunto con el conjunto de enteros positivos es equivalente a escribir los elementos de ese conjunto en una lista. De esa manera, puede emparejar el primer elemento de esa lista con [matemáticas] 1 [/ matemáticas], el segundo elemento de la lista con [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y así sucesivamente. Ahora, lo que Cantor hizo fue demostrar que algunos conjuntos son tan grandes que no se pueden combinar con los enteros positivos de esa manera. En otras palabras, hay algunos conjuntos que tienen tantos elementos que no puede escribirlos en una lista. Incluso si intentas hacer una lista, siempre faltará algún elemento.
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Considere el conjunto de números reales entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (inclusive). Ahora todos los elementos de este conjunto pueden expresarse mediante un punto decimal y un número infinito de dígitos que lo siguen. Por ejemplo, [matemática] 0 = .0000 … [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {2} =. 5000 … [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {3} =. 3333 … [/ matemáticas], [matemáticas] 1 = .999 … [/ matemáticas].
Ahora diga que hizo una lista de números reales entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Ahora puede usar el argumento diagonal para encontrar un número que no esté en su lista. Considere el número [math] a \ en [0, 1] [/ math] de modo que el primer dígito después del punto decimal de [math] a [/ math] sea diferente del primer dígito después del punto decimal del primer elemento en su lista, el segundo dígito después del punto decimal de [math] a [/ math] es diferente del segundo dígito después del punto decimal del segundo elemento de la lista, el tercer dígito después del punto decimal de [math] a [/ math] es diferente del tercer dígito después del punto decimal del tercer elemento en su lista y así sucesivamente.
Tenga en cuenta que [math] a [/ math] no puede estar en su lista ya que difiere de cada elemento en su lista por al menos un dígito. Entonces, no importa cuánto intente hacer una lista de todos los números reales entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática], habrá algún número que no esté en su lista. [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas] es un tipo diferente de conjunto infinito. Este infinito es más grande que el infinito del conjunto de enteros positivos.
