Pues hay unos pocos.
La declaración del teorema:
“La bola de unidad [math] \ mathbb {D} ^ 3 \ subset \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] es equidomposible a la unión de dos bolas de unidad”.
- ¿Cuál es la respuesta correcta?
- ¿Era 2 + 2 = 4 una afirmación verdadera antes de que existieran los humanos?
- ¿Cuántas colisiones hay en el conjunto de todos los resúmenes de valores md5 de más de 32 bytes y más de 33 + n bytes?
- ¿Cuáles son algunos términos de argot utilizados en la comunidad matemática?
- ¿Cuáles son algunas de las falacias matemáticas más fabulosas?
¡En términos simples, puedes descomponer una bola tridimensional en puntos y con simples rotaciones y traducciones puedes componer 2 bolas idénticas!
Una versión mucho más fuerte (probada recientemente) establece que existen infinitas bolas idénticas en las que puedes descomponer una bola de una sola unidad.
“Al utilizar las propiedades analíticas del grupo de rotación SO ( n ), que es un grupo de Lie analítico conectado, se puede demostrar que la esfera [matemática] S ^ {n-1} [/ matemática] se puede dividir en tantas piezas ya que hay números reales (es decir, [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática] piezas), de modo que cada pieza es equidecomposible con dos piezas para [matemática] S ^ {n-1} [/ matemática] usando rotaciones “.
Esto se basa en la paradoja de Hausdorff, que depende completamente del controvertido Axioma de elección (AoC) en ZFC (teoría de conjuntos fundacional de las matemáticas modernas). ¡Que se descubrió que era independiente de ZF!
“Suponiendo que ZF es consistente, Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF al construir un modelo interno (el universo construible) que satisfaga ZFC y así mostrar que ZFC es consistente. Suponiendo que ZF es consistente, Paul Cohen empleó la técnica de forzar, desarrollada para este propósito, para mostrar que el axioma de elección en sí mismo no es un teorema de ZF al construir un modelo mucho más complejo que satisfaga ZF¬C (ZF con la negación de AC agregada como axioma) y mostrando así que ZF¬C es consistente. Juntos, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva porque agregar otro axioma a un sistema ya inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a la independencia , la decisión de usar el axioma de elección (o su negación) en una prueba no puede hacerse apelando a otros axiomas de la teoría de conjuntos. La decisión debe tomarse por otros motivos “.
Por las propiedades de Aoc podemos construir conjuntos no mesurables, que a su vez no pueden preservar la longitud, el área o el volumen.
