Tiene razón: el valor de esta suma es diferente: es decir:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} \ right) \ to \ infty [/ math]
La prueba que he visto es considerar la expansión:
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[matemáticas] S_1 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} [/ matemáticas]
[matemáticas] S_1 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6 } + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {9} + \ frac {1} {10} + \ frac {1} {11} + \ frac { 1} {12} … [/ matemáticas]
Ahora lo comparamos con una suma diferente:
[matemáticas] S_2 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8 } + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac { 1} {16} … [/ matemáticas]
Si agrupamos cuidadosamente cada uno de los términos, podemos escribir esto como:
[matemáticas] S_1 = \ left (1 \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} \ right ) + \ left (\ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} \ right) + \ left (\ frac { 1} {9} + \ frac {1} {10} +… + \ frac {1} {16} \ right) +… [/ math]
[matemáticas] S_2 = \ left (1 \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right ) + \ left (\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right) + \ left (\ frac { 1} {16} + \ frac {1} {16} +… + \ frac {1} {16} \ right) +… [/ math]
Cada paréntesis en [math] S_1 [/ math] tiene un término correspondiente en [math] S_2 [/ math]; sin embargo, por comparación directa, podemos ver que cada parche en [math] S_1 [/ math] tiene una suma mayor que el paréntesis correspondiente en [matemáticas] S_2 [/ matemáticas] (ya que cada elemento individual es más grande, excepto el último, que es igual)
Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que:
[matemáticas] S_1> S_2 [/ matemáticas]
Sin embargo, centrémonos en lo que es [matemáticas] S_2 [/ matemáticas].
El primer paréntesis no trivial es [matemática] \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right) = \ frac {1} {2} [/ math]
El segundo es [matemáticas] \ left (\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Y así sucesivamente, por la forma en que hemos construido [math] S_2 [/ math], cada agrupación suma a la mitad.
Por lo tanto, podemos escribir:
[matemáticas] S_2 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} +… .. [/ matemáticas]
Que es una suma infinita de mitades: ¡ esta suma debe ser divergente!
Por lo tanto:
[matemáticas] S_2 \ to \ infty [/ matemáticas]
Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, sabemos que [math] S_1> S_2 [/ math], y por lo tanto deducimos que [math] S_1 \ to \ infty [/ math] también.
Por lo tanto, hemos demostrado que:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} \ right) \ to \ infty [/ math]
QED
Esta es una prueba históricamente importante: se conoce como la suma de la serie Harmonic, y aparentemente la prueba medio recordada que presenté allí fue originalmente planteada por Nicole Oresme, una matemática del siglo XIV.
Este tipo de prueba se denomina “Prueba por comparación directa”: toma una serie cuyo comportamiento conoce (o puede deducir fácilmente, como lo hicimos aquí), y luego compara su comportamiento con la serie que desea examinar.
Como puede ver, ¡era una herramienta bastante poderosa!
Hay formas más “refinadas” de hacer este análisis, pero realmente me gusta este porque toma un resultado bastante insoluble (que es bastante extraño cuando lo piensas), ¡y sin embargo lo demuestra de manera casi trivial!