¿Cuál es el valor de [math] \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} [/ math]?

Tiene razón: el valor de esta suma es diferente: es decir:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} \ right) \ to \ infty [/ math]

La prueba que he visto es considerar la expansión:

[matemáticas] S_1 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] S_1 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6 } + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {9} + \ frac {1} {10} + \ frac {1} {11} + \ frac { 1} {12} … [/ matemáticas]

Ahora lo comparamos con una suma diferente:

[matemáticas] S_2 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8 } + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {16} + \ frac { 1} {16} … [/ matemáticas]

Si agrupamos cuidadosamente cada uno de los términos, podemos escribir esto como:

[matemáticas] S_1 = \ left (1 \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} \ right ) + \ left (\ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} \ right) + \ left (\ frac { 1} {9} + \ frac {1} {10} +… + \ frac {1} {16} \ right) +… [/ math]

[matemáticas] S_2 = \ left (1 \ right) + \ left (\ frac {1} {2} \ right) + \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right ) + \ left (\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right) + \ left (\ frac { 1} {16} + \ frac {1} {16} +… + \ frac {1} {16} \ right) +… [/ math]

Cada paréntesis en [math] S_1 [/ math] tiene un término correspondiente en [math] S_2 [/ math]; sin embargo, por comparación directa, podemos ver que cada parche en [math] S_1 [/ math] tiene una suma mayor que el paréntesis correspondiente en [matemáticas] S_2 [/ matemáticas] (ya que cada elemento individual es más grande, excepto el último, que es igual)

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que:

[matemáticas] S_1> S_2 [/ matemáticas]

Sin embargo, centrémonos en lo que es [matemáticas] S_2 [/ matemáticas].

El primer paréntesis no trivial es [matemática] \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ right) = \ frac {1} {2} [/ math]

El segundo es [matemáticas] \ left (\ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {8} \ right) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Y así sucesivamente, por la forma en que hemos construido [math] S_2 [/ math], cada agrupación suma a la mitad.

Por lo tanto, podemos escribir:

[matemáticas] S_2 = 1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} +… .. [/ matemáticas]

Que es una suma infinita de mitades: ¡ esta suma debe ser divergente!

Por lo tanto:

[matemáticas] S_2 \ to \ infty [/ matemáticas]

Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, sabemos que [math] S_1> S_2 [/ math], y por lo tanto deducimos que [math] S_1 \ to \ infty [/ math] también.

Por lo tanto, hemos demostrado que:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} \ right) \ to \ infty [/ math]

QED


Esta es una prueba históricamente importante: se conoce como la suma de la serie Harmonic, y aparentemente la prueba medio recordada que presenté allí fue originalmente planteada por Nicole Oresme, una matemática del siglo XIV.

Este tipo de prueba se denomina “Prueba por comparación directa”: toma una serie cuyo comportamiento conoce (o puede deducir fácilmente, como lo hicimos aquí), y luego compara su comportamiento con la serie que desea examinar.

Como puede ver, ¡era una herramienta bastante poderosa!

Hay formas más “refinadas” de hacer este análisis, pero realmente me gusta este porque toma un resultado bastante insoluble (que es bastante extraño cuando lo piensas), ¡y sin embargo lo demuestra de manera casi trivial!

La serie comienza así:

[matemáticas] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ ldots [/ math]

El primer término, [matemáticas] 1 [/ matemáticas], es más que [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

El segundo término es [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Los siguientes dos términos son [matemática] \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} [/ matemática], que es más que [matemática] \ frac {1} {4} + \ frac {1 } {4} [/ math] porque un tercio es más de un cuarto. Entonces eso es más que [math] \ frac {1} {2} [/ math] nuevamente.

Los siguientes cuatro términos son [matemática] \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} [/ matemática]. Cada uno de estos es al menos [math] \ frac {1} {8} [/ math], por lo que los cuatro juntos son … una vez más, más que [math] \ frac {1} {2} [/ math ]

¿Puedes adivinar lo que viene después?

Así es: los siguientes ocho términos van desde [matemática] \ frac {1} {9} [/ matemática] a [matemática] \ frac {1} {16} [/ matemática], y cada uno de ellos es al menos [matemática ] \ frac {1} {16} [/ math], por lo que los ocho juntos producen más que [math] \ frac {1} {2} [/ math].

….y así. Podemos organizar esta suma en bloques donde cada bloque es claramente mayor que [math] \ frac {1} {2} [/ math]. Entonces, la suma de la serie armónica (así se llama) es más que la suma de infinitas mitades, que es infinito.

O, en otras palabras, la serie diverge: no puede converger a una suma finita, ya que esa suma finita debería ser mayor que una suma arbitraria de mitades.

Tienes razón, la serie diverge y aquí hay una breve (er) prueba de la divergencia de esta serie

Esta serie es famosa por el crecimiento muy lento de sus sumas parciales. Para esta serie, la suma parcial H (n) aumenta muy lentamente. Por ejemplo, se puede demostrar que lograr H (n)> 50 implicaría adiciones de aproximadamente 5.2 × 10 ^ 21, y una computadora normal que realiza una suma de 400 millones por segundo requeriría más de 400,000 años para realizar el cálculo (hay 31,536,000 segundos en un año). Una supercomputadora que puede realizar más de un billón de adiciones por segundo tardaría más de 164 años en alcanzar esa modesta meta. Y la supercomputadora IBM Roadrunner a una velocidad de cuatro mil millones de operaciones por segundo llevaría más de un año y medio.

La prueba “repetida de” mitades “de divergencia de esta serie se debe a Nicole Oresme, una matemática del siglo XIV.

Sin embargo, una prueba hermosa pero algo abstracta se debe (creo) a uno de los hermanos Bernoulli.

Considere esta serie convergente “telescópica”

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 +… + 1 / (k) (k + 1) +…. =

(1–1 / 2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) +… + (1 / k – 1 / (k + 1)) +… = 1

Ahora debajo de la serie original, vuelva a escribir la serie dejando de lado el primer término, y luego el segundo, etc. de la siguiente manera:

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 +… = 1

1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 +… = 1/2

1/12 + 1/20 + 1/30 +… = 1/3

Sumando la izquierda (sumando diagonales) y los lados derechos da:

1/2 + 2/6 + 3/12 + 4/20 +… = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +…, o

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +… = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +….

Y esto es imposible si la serie converge.

Una historia relacionada

Esta serie recuerda una historia cuando era estudiante de primer año en la universidad a mediados de los 70. Estudiamos esta serie en la clase de matemáticas y probamos que divergía, así que por curiosidad escribí un programa para calcularla para ver qué tan rápido divergía, y ejecuté el programa durante la noche, mostrando los resultados de las sumas parciales en un monitor frente al clase. Al día siguiente, cuando comenzó la clase, las sumas parciales se mostraban una y otra vez como 17.6812 … 17.6812 … etc.

Mi profesor se sorprendió por el resultado, no siendo un gran científico de la computación, y sugirió que había cometido un error en mi programa, porque me aseguró que la serie no convergía a 17.6812 … De hecho, la serie diverge aunque bastante lentamente. La prueba de “mitades” implica que para obtener una suma mayor que n, se requieren 1 + 2 + 4 + 8 + 2 ^ 2n = 2 ^ (2n + 1) -1 términos. Es decir, alcanzar una suma de 100 requiere 2 ^ 201 términos. Sin embargo, incluso una computadora de 1975 funcionando durante la noche debería haber pasado 17.6812.

Mi programa era de hecho “correcto”. Entonces, ¿qué crees que causó la convergencia aparente e incorrecta? Fue porque los valores de coma flotante que estaba agregando, después de que se volvieron lo suficientemente pequeños, “parecían” cero para la computadora, y después de ese punto, la suma ya no aumentó. Fue una lección sobre aritmética informática que finalmente me inspiró a estudiar informática.

Hay varias pruebas de que [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac1n [/ math] diverge, pero para un valor más preciso necesitamos la ayuda del cálculo.

Tenemos que [math] \ tfrac d {dx} \ ln x = \ dfrac1x [/ math], donde [math] y = \ ln x [/ math] es el inverso de [math] x = \ exp y = e ^ y [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ int \ tfrac {dx} x = \ ln x + C [/ math].

Como [math] e ^ 0 = 1 [/ math], luego [math] \ ln1 = 0 [/ math], entonces podemos definir la integral definida [math] \ displaystyle \ int_1 ^ x \ frac {dt} t = \ ln x [/ matemáticas].

Ahora, rompamos esa integral: \ begin {align}
\ ln m + 1 & = \ int_1 ^ {m + 1} \ frac {dx} x \\
& = \ sum_ {n = 1} ^ m \ int_n ^ {n + 1} \ frac {dx} x
\ end {align}

Para [math] n \ le x \ le n + 1 [/ math], tenemos que [math] \ frac1n \ ge \ frac1x \ ge \ frac1 {n + 1} [/ math], por lo tanto: \ begin {align } \ def \ lek {\ le \ mkern-12mu}
\ frac1 {n + 1} & \ lek & \ int_n ^ {n + 1} \ frac {dx} x & \ le \ frac1n \\
\ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1 {n + 1} & \ lek & \ sum_ {n = 1} ^ m \ int_n ^ {n + 1} \ frac {dx} x & \ le \ sum_ {n = 1 } ^ m \ frac1n \\
\ sum_ {n = 2} ^ {m + 1} \ frac1n & \ lek & \ int_1 ^ {m + 1} \ frac {dx} x & \ le \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n \\
\ frac1 {m + 1} -1+ \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n & \ lek & \ ln m + 1 & \ le \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n
\ end {align}

De lo cual podemos concluir que \ begin {align}
\ ln m + 1 \ le \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n & \ le1- \ frac1 {m + 1} + \ ln m + 1 \\
& \ le \ frac {m} {m + 1} + \ ln m + 1
\ end {align}

La expresión con un límite infinito significa \ begin {ecation}
\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac1n = \ lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n
\ end {ecuación}

No solo diverge, sino que podemos obtener cualquier suma parcial dentro de un rango de menos de una unidad. De hecho, sabemos la diferencia entre la serie armónica (la serie en su pregunta) y el logaritmo, es la constante de Euler-Mascheroni: \ begin {ecation}
\ gamma = \ lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n- \ ln m \ simeq0.577 \, 215 \, 665
\ end {ecuación}

El área de la región azul es igual a [math] \ gamma [/ math].

La prueba dada por Jack Fraser y Alon Amit es realmente hermosa, pero me gustaría aprovechar esta oportunidad para proporcionar una prueba de un teorema más general, y uno que es increíblemente útil.

Tenga en cuenta que [matemática] [x] [/ matemática] en esta respuesta se refiere al mayor entero menor o igual que x. (donde [math] x [/ math] es real)

Teorema: para todos los enteros positivos [matemática] n, \ displaystyle {log (n) \ leq \ sum_ {j = 1} ^ {n} \ frac {1} {j}} [/ math]

Prueba:

Para todos los positivos reales [matemática] x [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle {x \ geq [x]} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {1} {x} \ leq \ frac {1} {[x]}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ int_ {1} ^ {n} \ frac {dx} {x} \ leq \ int_ {1} ^ {n} \ frac {dx} {[x]}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {log (n) -log (1) \ leq \ int_ {1} ^ {n} \ frac {dx} {[x]}} [/ math]

Ahora, descubramos cuál es el valor de [math] \ displaystyle {\ int_ {1} ^ {n} \ frac {dx} {[x]}} [/ math]. La integral definida de una función proporciona el área bajo la curva de esa función. Ahora, para cualquier [matemática] x, [x] [/ matemática] será el mayor entero menor o igual que [matemática] x [/ matemática]. Por lo tanto, para cualquier intervalo [matemática] t [/ matemática] a [matemática] t + 1 [/ matemática], donde [matemática] t [/ matemática] es un número entero, [matemática] \ frac {1} {[x ]} [/ math] es igual a [math] \ frac {1} {t}. [/ math]

El área debajo de la curva, que está en forma de rectángulos sucesivos, será [matemática] \ displaystyle {\ sum_ {j = 1} ^ {n} \ frac {1} {j}} [/ matemática].

Por lo tanto, para cualquier número entero positivo n:

[matemáticas] \ displaystyle {log (n) -log (1) \ leq \ int_ {1} ^ {n} \ frac {dx} {[x]}} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {\ displaystyle {\ boxed {log (n) \ leq \ sum_ {j = 1} ^ {n} \ frac {1} {j}}}} [/ math]

[matemáticas] \ text {QED} [/ matemáticas]

Ahora, es solo una cuestión de llevar el límite de [matemáticas] n [/ matemáticas] al infinito positivo, y habremos demostrado la divergencia de las series armónicas.

[matemáticas] \ displaystyle {\ infty = \ lim_ {n \ to \ infty} log (n) \ leq \ sum_ {j = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {j}} [/ math]

Sin embargo, es el primer resultado que es muy útil en la teoría de números. Probar en comparación es el método (mucho) más hermoso, pero estoy seguro de que podría usar el resultado intermedio que hemos probado alguna vez, especialmente si disfruta de la teoría de números y el análisis real.

¡Espero que esto te ayude!

Editar: como Bryce Terwilliger señaló en los comentarios, la técnica utilizada se llama prueba integral para la convergencia de la serie. Para cualquier función positiva decreciente [matemática] f [/ matemática] (durante el intervalo [matemática] [s, \ infty) [/ matemática]), la divergencia o convergencia de [matemática] \ displaystyle {\ int_ {s} ^ {\ infty} f (x) dx} [/ math] implica la divergencia o convergencia respectiva de [math] \ displaystyle {\ sum_ {j = s} ^ {\ infty} f (j)} [/ math]. La prueba de este teorema general es similar a la prueba específica dada en la respuesta.

Para ir al grano, tiende hacia el infinito como otros han mencionado. (Es decir, técnicamente no existe como un número real). Si ha hecho integrales impropias, lo siguiente (llamado acertadamente Prueba Integral) proporcionará alguna información.

El teorema de esta prueba integral establece que si la integral impropia que describe la serie es convergente, entonces la serie también lo será. Del mismo modo, si la integral impropia es divergente, también lo es la serie.

Entonces, la integral que queremos ver es:

Entonces, realicemos la antiderivada:

[matemáticas] ln | x | [/ matemáticas] de 1 a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas] todavía.

Verá claramente que cuando tomamos [math] lim_ {t \ to \ infty} ln | t | [/ math] vemos que la integral (y, por lo tanto, la serie) es divergente .

Para probar esta serie en busca de convergencia o divergencia, podemos utilizar la Prueba Integral.

Los requisitos para poder utilizar la Prueba Integral son:

  1. La función siempre disminuye en el dominio relevante
  2. La función siempre es positiva.

Para probar esto, digamos [math] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ math]

Para encontrar si esta función siempre está disminuyendo, podemos usar su derivada:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (f (x) = \ dfrac {1} {x} \ right) [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = – \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Como [matemáticas] x ^ 2 \ ge0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ 2}> 0 [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] – \ dfrac {1} {x ^ 2 } = f ‘(x) <0 [/ matemáticas].

Como [math] f ‘(x) <0 [/ math], eso significa que [math] f (x) [/ math] siempre está disminuyendo. Esto satisface la primera condición necesaria para usar la Prueba Integral.

Para la segunda condición, [math] f (x) [/ math] debe ser mayor que [math] 0 [/ math] en el dominio relevante [math] x \ in [1, \ infty) [/ math]. Y dado que la integral se toma de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] \ infty [/ matemática], [matemática] \ dfrac {1} {x} = f (x) [/ matemática] siempre es positiva y [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] [matemáticas]> 0 [/ matemáticas].

Ahora se han cumplido todos los requisitos para la Prueba integral y ahora se puede usar la Prueba integral.

La prueba integral indica que si [math] \ displaystyle \ int_a ^ bf (x) \, dx [/ math] diverge, entonces también [math] \ displaystyle \ sum_ {n = a} ^ bf (n) [/ math ] Y lo mismo ocurre cuando [math] \ displaystyle \ int_a ^ bf (x) \, dx [/ math] converge, luego [math] \ displaystyle \ sum_ {n = a} ^ bf (n) [/ math] converge también.

Para este caso particular, [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ matemática], y el límite se toma como [matemática] b \ to \ infty [/ math].

Esto significa que si [math] \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ displaystyle \ int_1 ^ b \ dfrac {1} {x} \, dx [/ math] diverge, entonces [math] \ displaystyle \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ dfrac {1} {n} [/ math] también diverge.

Ahora para evaluar esta integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ displaystyle \ int_1 ^ b \ dfrac {1} {x} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ left. \ ln {x} \ right | _1 ^ b [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ ln b – \ ln 1 [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ ln b – 0 [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ ln b [/ math]

Que se acerca al infinito.

Por lo tanto, el límite no existe, por lo que [math] \ displaystyle \ lim_ {b \ to \ infty} \ displaystyle \ int_1 ^ b \ dfrac {1} {x} \, dx [/ math] diverge.

Esto significa que [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac {1} {n} [/ math] también diverge y se acerca al infinito.

Cabe señalar que esta es una serie especial llamada Serie Armónica, y es miembro de la serie [math] p [/ math]. La serie [math] p [/ math] es la familia de sumaciones de la forma [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ dfrac {1} {n ^ p} [/ math]. En este caso particular, [matemáticas] p = 1 [/ matemáticas].

Además, es bastante fácil demostrar que cuando [math] p> 1 [/ math], la suma converge a un valor particular, mientras que cuando [math] p \ le 1 [/ math], la suma diverge y no existe .

Arriba está la prueba del caso especial cuando [math] p = 1 [/ math]. Todos los valores cuando [math] p> 1 [/ math] pueden demostrarse “en masa” (es decir, solo se requiere una prueba para demostrar todos los casos en que [math] p [/ math] cumple con ese parámetro), y lo mismo ocurre para cuando [matemáticas] p <1 [/ matemáticas]. Pero [math] p = 1 [/ math] se considera por separado como un caso especial porque es necesario utilizar el hecho de que [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \, dx = \ ln x + C [/ math], que no es aplicable cuando [math] p \ ne 1 [/ math].

Otra prueba más, que creo que tiene su belleza.

[math] \ forall n \ in \ mathbb N ^ *, S (n) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {n} [/ math]

Tenemos

[matemáticas] S (2n) = 1 + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (\ frac {1} {2k} + \ frac {1} {2k + 1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) = 1 + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {2k} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ forall n \ gt 1, S (2n) = 1 + \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 2 } + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 1} [/ math]

Pero

[math] \ forall n \ in \ mathbb N, \ frac {1} {2k + 1} \ gt \ frac {1} {2k + 2} [/ math]

Entonces

[matemáticas] \ forall n \ gt 1, S (2n) \ gt 1 + \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 2} [/ math]

[matemáticas] S (2n) \ gt 1 + \ frac {1} {2} + 2 \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {2k + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) \ gt 1 + \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) \ gt 1 + \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {n} \ frac {1} {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) \ gt \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) \ gt \ frac {1} {2} + S (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) – S (n) \ gt \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Lo cual es una condición suficiente para demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} S (n) = \ infty [/ math]

Editar: de hecho, hay una manera más fácil de alcanzar el mismo resultado:

[matemáticas] S (2n) – S (n) = \ displaystyle \ sum_ {k = n + 1} ^ {2n} \ frac {1} {k} [/ matemática]

[matemáticas] S (2n) – S (n) \ gt \ displaystyle \ sum_ {k = n + 1} ^ {2n} \ frac {1} {2n} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) – S (n) \ gt \ frac {2n- (n + 1) +1} {2n} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (2n) – S (n) \ gt \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

OK, H (n) es dgt. , debería ser posible encontrar alguna suma limitante para n.

1/2 + 1/2 + 1/4 +,, 1 / n

H (n) -1

lnn + 1 / n

1 / n <(H (n) -lnn) <1, entonces n tiende al infinito

0 <= (H (n) -lnn) <= 1

Estrictamente hablando, el límite de la serie Armónica como [matemática] N [/ matemática] tiende al infinito no existe . Es decir, la serie no converge a ningún límite de número real.

Informalmente decimos que la serie Armónica diverge hasta el infinito, pero ese es un uso bastante flojo de los términos. Cuando se trata del infinito, generalmente es mejor mantenerse estrictamente formal. Las nociones intuitivas de infinito solo conducen a la confusión, si no al desastre 🙁

Probemos que [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ frac {1} {n}) ^ p [/ math] converge para [math] p> 1. [/ Math] If [math ] p> 1 [/ math] tenga en cuenta que [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ frac {1} {n}) ^ p = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (\ sum_ {n = 2 ^ k} ^ {2 ^ {k + 1} -1} (\ frac {1} {n}) ^ p)) \ leq \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (\ sum_ {n = 2 ^ k} ^ {2 ^ {k + 1} -1} (\ frac {1} {2 ^ k}) ^ p)) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty } 2 ^ k \ frac {1} {(2 ^ k) ^ p} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (2 ^ k) ^ {1-p} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (2 ^ {1-p}) ^ k. [/matemáticas]

Como [math] 1-p <0 [/ math] tenemos [math] | 2 ^ {1-p} | <1 [/ math] y, por lo tanto, esta última serie es una serie de potencia convergente. Por la prueba de comparación, nuestra serie original converge. Ahora, vea si puede aplicar técnicas similares para demostrar que [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ frac {1} {n}) ^ p [/ matemáticas] diverge para [matemáticas] p \ leq 1. [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} dn <\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ space y \ space \ porque \ displaystyle \ int_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} dn = \ ln (\ infty) – \ ln (1) = \ ln ( \ infty) = \ infty \ por lo tanto \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} = \ infty. [/ math]

La suma diverge. Esto significa que [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ cdots + 1 / N [/ matemáticas] puede hacerse arbitrariamente grande.

Digamos que elige cualquier número natural, [matemáticas] M [/ matemáticas]. Luego me reta a que demuestre que [math] \ sum_ {n = 1} ^ {N} \ frac {1} {n} [/ math] es más grande que su [math] M [/ math]. Si puedo hacer eso para cualquier [matemática] M [/ matemática] que elijas, entonces no hay límite en cuanto a la suma que puede ser. Entonces, diverge.

A ver si puedo hacerlo. Primero observa que

el primer término (es decir, [matemáticas] 1 [/ matemáticas]) es más que [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas],

los siguientes 2 términos después de eso (es decir, [matemáticas] 1/2 + 1/3 [/ matemáticas]) se suman a más de [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas],

los siguientes 4 términos después de eso (es decir, [matemáticas] 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 [/ matemáticas]) se suman a más de [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas],

los siguientes 8 términos posteriores (es decir, [matemáticas] 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 [/ matemáticas]) se suman a más de [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas], y así sucesivamente.

Así, tomando todo esto juntos, vemos que los primeros términos [matemáticos] 2 ^ m-1 [/ matemáticos] se suman a más de [matemáticos] m (1/2) [/ matemáticos]. Entonces, los primeros términos [matemática] N = 2 ^ {2M} -1 [/ matemática] se suman a más de [matemática] M [/ matemática]. Con esta elección de [math] N [/ math], he cumplido tu desafío. Por lo tanto, la suma diverge.

Tienes razón, se conoce como la serie armónica y diverge.

Esto se puede probar trivialmente simplemente agrupando los términos en sumas más pequeñas y mostrando cómo siempre será igual a algún número + C (donde “C” es algún número que asumimos que es el valor de convergencia de la serie armónica). Así, la prueba por contradicción muestra que diverge.

Como una adición a la respuesta de Div, demostraré que este valor es de hecho infinito (es decir, que la serie armónica diverge). En primer lugar, reescribirlo como

(1) + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) +…

> 1+ (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) +…

Tenga en cuenta que sumar cada parche da 2 *, por lo que tenemos

1 + 1/2 + 1/3 +…> 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +…

La última suma es claramente infinita, por lo que concluimos que la suma en cuestión también es infinita **.

* Esto realmente necesita pruebas para ser riguroso. En el enésimo paréntesis, el exponente en 2 es n-1. Además, hay 2 ^ (n-1) -2 ^ (n-2) términos (porque los términos son exactamente aquellos entre 1/2 ^ (n-1) y 1/2 ^ (n-2)). Manipulando este último número que tenemos

2 ^ (n-1) -2 ^ (n-2)

= (2 ^ (n-2)) (2–1)

= 2 ^ (n-2)

Entonces, los corchetes son la suma de 2 ^ (n-2) términos, cada uno igual a 1/2 ^ (n-1) y, por lo tanto, igual a 2 ^ (n-2) / 2 ^ (n-1) = 2 ^ 1 = 2)

** Esta técnica se llama prueba de comparación directa. Puede consultar la página wiki o buscarla en Google para obtener más información, pero tenga en cuenta que generalmente se enseña en un entorno de cálculo (y, por lo tanto, puede parecer complicado según su conocimiento).

Dado que

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Esto muestra que es una serie p con p = 1.

Pero sabemos que la serie p es convexa, cuando

p> 1 y divergente cuando p≤1.

Por lo tanto, la serie dada es divergente.

Sí, es infinito, pero la tasa de crecimiento es logarítmica, que es muy lenta.

Por lo tanto, debe seguir agregando un valor lo suficientemente grande de [math] n [/ math] para verlo divergir.

Si. Pero para tener una idea de cuán rápido diverge la serie, haga esto: tome la suma de los primeros k términos y reste el logaritmo natural de k. Encontrará que esto converge (a la constante de Euler). Entonces se podría decir que la serie diverge logarítmicamente.

Así que piensa en un número muy grande como un millón. base 10 log es 6. ahora mil millones. El registro de Base 10 es 9. Entonces, aunque los registros toman números muy grandes y los hacen mucho más pequeños, el registro del infinito sigue siendo infinito. Es como la serie: a pesar de que los números agregados se hacen cada vez más pequeños, agregar un número infinito de estos pequeños términos sigue siendo infinito.

Cuando x se acerca al infinito, la expresión se convierte en
1 + 1/2 + 1/3 ……… .. Infinito.
Esta es una serie armónica divergente con una suma que tiende al infinito. Entonces la expresión tiende al infinito.