La cardinalidad es la forma formal de decir “¿cuántos?”.
Ves tres autos, tres manzanas y tres estrellas, e intuitivamente sabes que hay tantos autos como manzanas como estrellas.
Si ve 47 autos, 47 manzanas y 47 estrellas, no está tan claro, pero aún puede hacerlo a mano, simplemente tome un automóvil, una manzana y una estrella, enjuague y repita; si te quedas sin estrellas antes de quedarte sin manzanas, dirías que hay menos estrellas que manzanas.
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O bien, puede contar las manzanas, eso es exactamente lo mismo, pero en lugar de sacar una manzana y una estrella, toma una manzana y un “conteo ideal” de los “números ideales”. Tan pronto como termines las manzanas, sabrás cuántas cuentas has contado.
Hay un truco con infinitos, en el que con 47 autos, serán 47 ya sea que los cuentes del más largo al más corto, del más antiguo al más nuevo, del más blanco al más oscuro. No es el caso con los infinitos, ya que, dependiendo del orden, puede quedarse sin “conteos” antes de haber terminado; e incluso si estás contando lo mismo de dos maneras diferentes.
Tome los números naturales (enteros de 0 hacia arriba). En el lado izquierdo los cuentas en orden; en el lado derecho los cuentas a partir de 1 en adelante, pero dejando 0 para “después”. Si eres un súper ser capaz de contar más y más rápido, terminarás el lado izquierdo, todos los números han sido contados, pero en el lado derecho aún tienes tu 0. ¿Entonces los números naturales son más que ellos mismos? ?
Entonces, la diferencia fundamental entre conjuntos finitos e infinitos es que incluso si dos conjuntos tienen el mismo tamaño, dependiendo del orden puede contar uno como más grande o más pequeño que el otro. De hecho, esta es una de las definiciones propuestas de infinito 🙂
Sin embargo, puede resolver esta aparente paradoja, encontrando al menos una forma de contar los dos conjuntos y cubrir ambos conjuntos por completo.
Entonces, la cardinalidad de un conjunto es la “cantidad” de elementos que contiene el conjunto, que se define mediante el proceso anterior. Cada conjunto tiene una cardinalidad, incluso si a veces diferentes cardinalidades pueden no ser “más grandes” o “más pequeñas” que otras. Puedes ver el concepto de “3” como el 3-ity “completo”, todos los “conjuntos de 3 X” de lo que esté compuesto. Por lo tanto, cualquier otro conjunto tiene su cardinalidad, porque al menos ese conjunto está en esa “totalidad”.
Nota : Estoy usando “contar” en un significado muy laxo, un conjunto más grande no puede agotarse contando, porque son incontables . Aún así, puede encontrar correspondencias entre incontables conjuntos, que no omiten ninguno de sus elementos. También la mayoría de las palabras aquí son informales. Estoy tratando de ser legible por el mayor conjunto posible de lectores.
