Gracias por A2A.
Bueno … es una larga historia. Contestaré desde la perspectiva de un estudiante de secundaria ya que no tengo experiencia con técnicas más avanzadas. También supongo que estamos limitando a polinomios con coeficientes enteros en el dominio de números reales.
El problema principal es: hay una fórmula para encontrar las raíces de un polinomio cuántico (biquadratico), pero es demasiado complicado. Nunca lo he usado (¿Existe una fórmula general para resolver ecuaciones de cuarto grado?). En cambio, generalmente hago muchas conjeturas (lo cual no es del todo imposible porque los problemas que tenemos en clase generalmente se pueden resolver).
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Mi punto de partida generalmente es el teorema de Bezout (la respuesta de Hai Tran a ¿Cómo puedo factorizar esto: x ^ 4 – 5x ^ 3 + 27x -135?). Un caso especial es si el grado más alto de x ([matemática] x ^ 4 [/ matemática] en este caso) tiene 1 como coeficiente, veré los divisores del coeficiente de grado más bajo. Por ejemplo, si P (x) = [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 – 8x ^ 2 – 48x + 20 [/ matemáticas] tiene una raíz entera, ese número debe ser un divisor de 20. Si se encuentra una raíz , el polinomio cuártico se puede simplificar a los de menor grado, lo que supongo que sabe cómo manejar.
Si ese primer método falla, el polinomio dado es una multiplicación de dos polinomios cuadráticos, tiene raíces no enteras o no puede factorizarse. El primer caso, en teoría, puede resolverse equilibrando los coeficientes en dos lados de la siguiente ecuación:
[matemáticas] ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx ^ 2 + ex + f = (mx ^ 2 + nx + p) (rx ^ 2 + sx + t) [/ matemáticas]
Nuevamente, supongo que todos los coeficientes son enteros. Si sus valores son pequeños, generalmente hago conjeturas para encontrar m, n, p, r, s y t.
Los otros dos casos son mucho más complicados que realmente no tengo un método general para ellos. Cuando estaba en la escuela secundaria, tendía a hacer coincidir el polinomio dado con una forma familiar en tales situaciones. Aquí hay un ejemplo: ¿Cómo factorizar x ^ 4 + 4?
Espero que mi respuesta sea útil 🙂
