El valor mínimo de [math] \ hspace {1mm} n ([/ math] [math] A \ cup B) \ hspace {1mm} [/ math] es 6 .
Tomemos algunos conjuntos de muestra.
(i) Deje [math] \ hspace {1mm} A = \ {1,2,3 \}, \ hspace {1mm} B = \ {1,2,3,4,5,6 \} [/ math]
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Aquí n (A) = 3 yn (B) = 6 según el escenario dado.
[matemática] A \ copa B = \ {1,2,3,4,5,6 \} \ hspace {1mm} [/ matemática] [matemática] \ implica n (A \ copa B) = 6 [/ matemática]
(ii) Deje [math] \ hspace {1mm} A = \ {1,2,3 \}, \ hspace {1mm} B = \ {2,3,4,5,6,7 \} [/ math]
Aquí n (A) = 3 yn (B) = 6 según el escenario dado.
[matemáticas] A \ copa B = \ {1,2,3,4,5,6,7 \} \ implica n (A \ copa B) = 7 [/ matemáticas]
(iii) Deje [math] \ hspace {1mm} A = \ {1,2,3 \}, \ hspace {1mm} B = \ {4,5,6,7,8,9 \} [/ math]
Aquí n (A) = 3 yn (B) = 6 según el escenario dado.
[matemáticas] A \ copa B = \ {1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \ implica n (A \ copa B) = 9 [/ matemáticas]
Podemos concluir que [math] \ hspace {1mm} n (A \ cup B) \ hspace {1mm} [/ math] es mínimo solo si [math] \ hspace {1mm} A \ subset B [/ math] o [ matemática] \ hspace {1mm} B \ subconjunto A [/ matemática].
Otra forma de interpretación es (puede ignorar esta explicación, si la siente abrumadora. El resultado que sigue a la explicación es importante):
Mientras escribimos [math] \ hspace {1mm} A \ cup B \ hspace {1mm} [/ math], escribimos los elementos comunes solo una vez. La repetición no está permitida en series. Así,
[matemáticas] n (A \ copa B) = n (A) + n (B) – n (A \ cap B) [/ matemáticas]
donde [math] \ hspace {1mm} A \ cap B \ hspace {1mm} [/ math] representa el conjunto de elementos comunes.
Si [math] \ hspace {1mm} A \ subset B \ hspace {1mm} [/ math], entonces [math] \ hspace {1mm} A \ cap B = A \ hspace {1mm} \ implica n (A \ cap B) = n (A) \ hspace {1mm} [/ math] y [math] \ hspace {1mm} n (A \ cup B) = n (A) + n (B) – n (A \ cap B) = n (A) + n (B) -n (A) = n (B) [/ matemáticas].
Del mismo modo, si [math] \ hspace {1mm} B \ subset A \ hspace {1mm} [/ math], entonces
[matemáticas] n (A \ copa B) = n (A) [/ matemáticas].
Podemos decir si [math] \ hspace {1mm} n (A \ cap B) \ hspace {1mm} [/ math] es máximo, entonces [math] \ hspace {1mm} n (A \ cup B) \ hspace { 1mm} [/ math] es mínimo. De los cálculos anteriores, se deduce que:
[matemáticas] max (n (A \ cap B)) = min \ {n (A), n (B) \} [/ matemáticas]
Por lo tanto, el valor mínimo de [math] \ hspace {1mm} n (A \ cup B) \ hspace {1mm} [/ math] viene dado por
[matemáticas] max \ {n (A), n (B) \} [/ matemáticas]. Para decirlo más simple,
[matemáticas] \ boxed {n (A \ cup B) \ geq max \ {n (A), n (B) \}} [/ math].
En el problema dado, dado que [math] \ hspace {1mm} n (A) <n (B) \ hspace {1mm} [/ math], tomamos [math] \ hspace {1mm} [/ math] [math] A \ subconjunto B [/ math] para encontrar el valor mínimo de n (AUB).
Por lo tanto, min (n (AUB)) = max (3,6) = 6 .