Una característica significativa del valor del producto escalar entre dos vectores es que es una cantidad conservada bajo rotaciones. Eso significa [matemáticas] (V (t) \ vec {a}) \ cdot (V (t) \ vec {b}) = \ vec {a} \ cdot \ vec {b} [/ math]
donde [matemáticas] V (t) [/ math] es una rotación en un ángulo [matemáticas] t [/ math] que actúa sobre ambos vectores [matemáticas] \ vec {a}, \ vec {b} [/ matemáticas]. Este hecho es bastante obvio si lo piensa, ya que no importa cómo elija rotar un sistema de coordenadas, el valor del producto punto es el mismo, pero tiene consecuencias importantes. De hecho, puede derivar el grupo de simetría de rotación de la invariancia del producto escalar. Para los vectores en un espacio tridimensional, la rotación [matemáticas] V (t) [/ math] es una matriz de 3 x 3, y del hecho de que la rotación por el ángulo [matemáticas] t = 0 [/ math] no hace nada en absoluto ( lo que significa que [matemática] V (0) = diag (1,1,1) [/ matemática] podemos escribir [matemática] V (t) = \ exp {t A} [/ matemática] donde [matemática] A [/ matemáticas] es también una matriz de 3 x 3 (lo que realmente estamos haciendo aquí es que indica que el grupo de simetría bajo rotaciones es un grupo de Lie). tomando la derivada de la relación producto escalar anteriormente con respecto a [matemáticas] t [/ matemáticas ], y el establecimiento de [matemáticas] t = 0 [/ math], se llega a la condición de que [matemáticas] a + a ^ {T} = 0 [/ math], a saber, que [matemáticas] a [/ math] es una matriz antisimétrica [matemáticas] A_ {j, k} = -. A_ {k, j} [/ math] la matriz [matemáticas] A [/ math] es un elemento de la Lie Algebra [matemáticas] \ mathfrak {so} ( 3) [/ math] del grupo de Lie [matemáticas] SO (3) [/ math] (grupo ortogonal especial en tres dimensiones, que es el grupo de 3 × 3 matrices con elementos reales que tiene determinante igual a 1). Hay tres matrices linealmente independientes que son antisimétricas, por lo que la base para el Lie Algebra [matemáticas] \ mathfrak {so} (3) [/ math] consta de 3 elementos
[Matemáticas] J ^ x = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 y 0 \ end {array} \ right) [/ matemáticas]
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[Matemáticas] J ^ y = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ – 1 y 0 & 0 \ end {array} \ right) [/ matemáticas]
[Matemáticas] J ^ z = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 y -1 y 0 \\ 1 y 0 y 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) [/ matemáticas]
y cualquier elemento [matemáticas] A [/ math] de la Lie Algebra puede escribirse [matemáticas] A = \ alpha J ^ x + \ beta J ^ y + \ gamma J ^ z [/ math], donde [matemáticas] \ alpha, \ beta, \ gamma [/ math] son números reales (que especifican la dirección del eje sobre el que se realiza la rotación). En realidad sólo necesitamos dos números reales para especificar la dirección del eje (el ángulo [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] del [matemáticas] \ hat {z} [/ matemáticas] eje x y el ángulo azimutal [matemáticas] \ phi [/ matemáticas]), por lo que tenemos la restricción [matemáticas] \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 + \ gamma ^ 2 = 1. [/ matemáticas] Tenga en cuenta la importancia de “especial” en el grupo ortogonal especial es que nos considere solo las operaciones que pueden realizarse como rotaciones. Otras transformaciones que dejan el producto punto invariable pero no son rotaciones, como la operación de paridad que invierte la dirección de los vectores [math] \ mathcal {P}: x \ rightarrow -x, y \ rightarrow -y, z \ rightarrow -z [/ math], no son elementos del grupo [math] SO (3) [/ math], ya que [math] det (\ mathcal {P}) = det (diag (-1, -1, -1)) = -1. [/ Matemáticas]
El mismo argumento le permite determinar el grupo de simetría para las rotaciones en el espacio de dimensiones arbitrarias [matemáticas] SO (n) [/ matemáticas]. Se puede generalizar lo que se entiende por producto de punto de ser [matemáticas] \ vec {b} ^ Tg \ vec {a} [/ matemáticas], donde [matemáticas] g [/ matemáticas] es un [matemáticas] nxn [/ matemáticas] matriz conocida como la métrica, que en su forma diagonal tiene elementos [matemática] p [/ matemática] +1 en la diagonal y elementos [matemática] q [/ matemática] -1 en la diagonal. Usando el mismo argumento que el anterior le permite a uno para derivar el grupo [matemáticas] SO (p, q); p + q = n [/ matemáticas]. Por ejemplo, cuando el colector es 4 dimensional tiempo el espacio de Minkowski, [matemáticas] p = 3, q = 1 [/ math], y el grupo es [matemáticas] SO (3,1) [/ math], el grupo de simetría de Transformaciones de Lorentz (rotaciones en el espacio-tiempo).
