Ya he respondido un par de preguntas que tienen un significado y contenido cercano o relacionado con este. En cualquier caso, la historia y el uso de tensores constituyen un tema amplio, por lo que trataré de proporcionar una respuesta general integral mientras me refiero a otras respuestas que he escrito.
Comenzaré con el origen y los diferentes significados de la palabra tensor , del Oxford English Dictionary (con una cita de William Rowan Hamilton):
Adoptado del tensor latino moderno, agente-sustantivo de tendencia a estirarse.
- ¿Puedo convertirme en físico incluso si soy un pensador bastante lento y no soy muy inteligente? Realmente quiero porque amo las matemáticas y la física.
- ¿Qué es el espacio afín? ¿Y cuál es su significado físico?
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Anatomía También tensor muscular . Un músculo que se estira o aprieta alguna parte. Opuesto al laxador .
En uso moderno, se distingue de un extensor al no alterar la dirección de la pieza.Matemáticas .a) En Quaternions, una cantidad que expresa la relación en la que aumenta la longitud de un vector.
1846 WR Hamilton en Phil. Mag . XXIX. 27 Dado que el cuadrado de un escalar siempre es positivo, mientras que el cuadrado de un vector siempre es negativo, el exceso algebraico del primero sobre el último cuadrado es siempre un número positivo; si entonces hacemos [math] (TQ) ^ 2 = (SQ) ^ 2 – (VQ) ^ 2 [/ math], y si suponemos que [math] TQ [/ math] siempre es real y positivo o absoluto número, que podemos llamar el tensor del quaternion [matemática] Q [/ math], por lo tanto no disminuiremos la generalidad de ese cuaternión. Este tensor es lo que se llamó en artículos anteriores el módulo.
b) Una entidad abstracta representada por una matriz de componentes que son funciones de coordenadas de tal manera que, bajo una transformación de coordenadas, los nuevos componentes están relacionados con la transformación y con los componentes originales de una manera definida. [Este sentido se debe a W. Voigt ( Die Fund. Physik. Eigenschaften der Krystalle (1898) p. Vi)].
Aquellos que podrían llamarse los “culpables” originales detrás del análisis de tensores y tensores son algunos científicos bien conocidos. En la “prehistoria” del cálculo del tensor, los matemáticos responsables de preparar el camino incluyen Lagrange (tratamiento general de sistemas dinámicos), Gauss (teoría de superficies curvas, geometría diferencial) y Riemann (geometría en cualquier cantidad de dimensiones, introduciendo la noción de colector topológico con un elemento de forma diferencial lineal cuadrático). Luego vinieron las contribuciones de Christoffel y Lipschitz (formas cuadráticas), luego las publicaciones de Ricci-Curbastro y Levi-Civita.
Aquí hay algunas explicaciones adicionales o complementarias:
Los conceptos del análisis tensorial posterior surgieron del trabajo de Carl Friedrich Gauss en geometría diferencial, y la formulación estuvo muy influenciada por la teoría de las formas algebraicas e invariantes desarrolladas a mediados del siglo XIX. La palabra “tensor” en sí fue introducida en 1846 por William Rowan Hamilton para describir algo diferente de lo que ahora se entiende por tensor. El uso contemporáneo fue introducido por Woldemar Voigt en 1898.
El cálculo del tensor fue desarrollado alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el título de cálculo diferencial absoluto , y originalmente presentado por Ricci en 1892.
Se puso a disposición de muchos matemáticos mediante la publicación de Ricci y Tullio Levi-Civita, el texto clásico de 1900, Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs (Métodos de cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones) [Mathematische Annalen, 54 (1901), p. 125-201].
En el siglo XX, el tema llegó a ser conocido como análisis tensorial y logró una aceptación más amplia con la introducción de la teoría de la relatividad general de Einstein, alrededor de 1915. La relatividad general se formula completamente en el lenguaje de los tensores. Einstein había aprendido sobre ellos, con gran dificultad, del geómetra Marcel Grossmann.
Levi-Civita luego inició una correspondencia con Einstein para corregir los errores que Einstein había cometido en su uso del análisis tensorial. La correspondencia duró 1915–17, y se caracterizó por el respeto mutuo:
“Admiro la elegancia de tu método de cálculo; debe ser agradable atravesar estos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas, mientras que nosotros tenemos que abrirnos paso laboriosamente a pie ”.
– Albert Einstein
También se descubrió que los tensores son útiles en otros campos, como la mecánica del continuo. Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría diferencial son formas cuadráticas como los tensores métricos y el tensor de curvatura de Riemann. El álgebra exterior de Hermann Grassmann, de mediados del siglo XIX, es en sí misma una teoría tensorial y altamente geométrica, pero fue un tiempo antes de que se viera, con la teoría de las formas diferenciales, como unificada naturalmente con el cálculo tensorial. El trabajo de Élie Cartan hizo de las formas diferenciales uno de los tipos básicos de tensores utilizados en matemáticas.
Desde aproximadamente la década de 1920 en adelante, se dio cuenta de que los tensores juegan un papel básico en la topología algebraica (por ejemplo, en el teorema de Künneth). En consecuencia, hay tipos de tensores en funcionamiento en muchas ramas del álgebra abstracta, particularmente en álgebra homológica y teoría de la representación. El álgebra multilineal puede desarrollarse en mayor generalidad que para escalares provenientes de un campo. Por ejemplo, los escalares pueden provenir de un anillo. Pero la teoría es entonces menos geométrica y los cálculos más técnicos y menos algorítmicos. Los tensores se generalizan dentro de la teoría de categorías mediante el concepto de categoría monoidal, de la década de 1960.
Fuente: Tensor – Wikipedia
Una de las razones para la creación o invención del cálculo o análisis tensorial fue combinar efectivamente métodos analíticos, algebraicos y geométricos, proporcionando procedimientos y formas para elaborar expresiones que pueden ser válidas en todos los sistemas de coordenadas.
Críticamente era tensor el término adoptado por Einstein y Grossmann en su primera publicación sobre la relatividad general, Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der gravitación (Esbozo de una teoría generalizada de la relatividad y de una teoría de la gravitación) (1913). Einstein puso el tema de moda. MacTutor relata que en una visita a Princeton en 1921 comentó sobre la gran audiencia que atrajo su conferencia: “Nunca me di cuenta de que tantos estadounidenses estaban interesados en el análisis de tensor”.
Fuente: Usos más antiguos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (T)
Aquí hay algunos detalles más sobre la historia del análisis tensorial.
La primera vez que los tensores se usaron en su sentido físico o significado fue por Woldemar Voigt en 1898, en un estudio sobre las propiedades físicas de los cristales. El artículo o libro de Voigt se tituló ” Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung ” ( Las propiedades físicas fundamentales de los cristales en la representación elemental ). En este trabajo (página 20) Voigt escribió: “Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physikalischen Grössen abössen abössen abössen abössen ( Por lo tanto, queremos que [nuestra presentación] se base solo en [la suposición de que] las condiciones del tipo descrito ocurren durante tensiones y deformaciones de cuerpos no rígidos, y por lo tanto los llamamos “tensoriales” pero llamamos las cantidades físicas características para ellos ” tensores “ .)
Puede encontrar una versión gratuita en línea del libro de Voigt en este enlace:
Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung: Woldemar Voigt: Descarga y transmisión gratuitas: Archivo de Internet
En su libro Elementos de análisis vectorial dispuestos para el uso de estudiantes de física (1884), Josiah Willard Gibbs utilizó el producto tensorial de vectores en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y lo llamó el “producto indeterminado “. Gibbs pensó que este producto era “la forma más general de producto de dos vectores”. Como aplicación, la usó para estudiar la tensión en un cuerpo determinado. Más tarde, el trabajo de Boubaki sobre álgebra abstracta extendió la definición de productos tensoriales a módulos.
La expresión “Análisis tensorial” se utilizó por primera vez en publicaciones inglesas en 1922.
Gabriel Kron intentó aplicar el análisis tensorial a la ingeniería de energía eléctrica. En 1939 publicó un libro titulado Tensor Analysis of Networks .
Para obtener aún más información sobre este tema, consulte las siguientes respuestas mías:
La respuesta de Emad Noujeim a ¿De dónde vienen los tensores?
La respuesta de Emad Noujeim a ¿Por qué el cálculo del tensor se llamaba originalmente “El cálculo diferencial absoluto”?
Una descripción moderna de los tensores que usan álgebra lineal indicaría que son una clase particular de funciones definidas en espacios vectoriales.
El cálculo de los tensores es una herramienta matemática muy útil que ayuda a expresar muchos conceptos de cálculo de múltiples variables y los aplica a varias ramas de las matemáticas y la física.
El cálculo multivariable y las aplicaciones relacionadas se pueden abordar de dos maneras: el lenguaje de los tensores y la forma geométrica diferencial moderna (enfoque libre de coordenadas).
En una conferencia titulada Riemannian Geometry in an Orthogonal Frame (1926-1927), Elie Cartan prefirió “evitar, en la medida de lo posible, cálculos muy formales en los que una orgía de índices de tensor oculta una imagen geométrica que a menudo es muy simple. En su libro Space , Time, Matter (1952), Hermann Weyl expresó un punto de vista algo diferente: “Al tratar de evitar la referencia continua a los componentes, estamos obligados a adoptar una profusión infinita de nombres y símbolos además de un complejo conjunto de reglas para realizar cálculos, de modo que el balance de ventaja sea considerablemente negativo. / se debe hacer una protesta enfática contra estas orgías de formalismo que amenazan la paz incluso del científico técnico “. Ambos enfoques podrían usarse convenientemente, dependiendo del problema o pregunta específica que se estudie.
Un ejemplo simple de la aplicación y el uso elegante de los tensores está relacionado con el concepto de longitud de arco.
En coordenadas cartesianas en tres espacios euclidianos, la fórmula de longitud de arco de una curva se expresa como:
[matemáticas] \ displaystyle L = \ int_a ^ b \ sqrt {\ left (\ frac {\ text {dx}} {\ text {dt}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ text {dy} } {\ text {dt}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ text {dz}} {\ text {dt}} \ right) ^ 2} \, dt [/ math]
Generalizando a coordenadas arbitrarias [matemáticas] x ^ k [/ matemáticas] donde la curva está dada por
[matemáticas] \ displaystyle \ left (x ^ 1 (t), x ^ 2 (t), x ^ 3 (t) \ right) [/ math], la fórmula de la longitud del arco es:
[matemáticas] \ displaystyle L = \ int_a ^ b \ sqrt {g_ {ij} \ frac {\ text {dx} ^ i} {\ text {dt}} \ frac {\ text {dx} ^ j} {\ text {dt}}} \, dt [/ math]
Usando el formalismo tensorial, la fórmula de longitud de arco en el espacio euclidiano en un sistema de coordenadas rectangulares se escribe así:
[matemáticas] \ displaystyle L = \ int_a ^ b \ sqrt {\ delta_ {ij} \ frac {\ text {dx} ^ i} {\ text {dt}} \ frac {\ text {dx} ^ j} {\ text {dt}}} \, dt = \ int_a ^ b \ sqrt {\ left (\ frac {\ text {dx} ^ 1} {\ text {dt}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac { \ text {dx} ^ 2} {\ text {dt}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ text {dx} ^ 3} {\ text {dt}} \ right) ^ 2} \, dt [/ math]
donde [math] g_ {ij} = \ delta_ {ij} [/ math], y [math] \ delta_ {ij} [/ math] es el delta de Kronecker.
La forma diferencial lineal cuadrática [matemáticas] \ displaystyle {ds} ^ 2 = g_ {ij} {dx} ^ i {dx} ^ j [/ matemáticas] tiene muchas aplicaciones en matemáticas, en geometría diferencial y en física. Involucra el tensor métrico [math] g_ {ij} [/ math].
Para obtener más detalles sobre el tensor métrico y sus múltiples aplicaciones y usos, consulte las siguientes respuestas mías:
La respuesta de Emad Noujeim a ¿Qué es un tensor métrico?
La respuesta de Emad Noujeim a ¿Cómo funciona un tensor métrico?
Para aplicaciones de tensores en electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) y en física, vea mis respuestas:
La respuesta de Emad Noujeim a ¿Cómo se expresan las ecuaciones de Maxwell en el lenguaje de los tensores?
La respuesta de Emad Noujeim a ¿Cuál es el significado físico de un tensor? ¿Cuáles son ejemplos interesantes de tensores en física?
Las técnicas o métodos matemáticos como la descomposición de valores singulares para matrices y su generalización en descomposición de rango tensorial han encontrado aplicaciones en varios campos de estudio.
