Un tensor … bueno, un tensor es una generalización de la idea de un vector. Usted sabe que un vector puede formar un producto interno con otro vector y producir un número. Bueno … un tensor puede tomar dos (o más) vectores y formar un producto interno con ellos, produciendo un número.
Así como un vector puede representarse mediante una fila o una columna de números, un tensor de rango 2 puede representarse mediante una matriz cuadrada.
Ahora déjame mostrarte un tensor antisimétrico tridimensional de rango dos:
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[matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 0 & T_ {12} & T_ {13} \\ – T_ {12} & 0 & T_ {23} \\ – T_ {13} & – T_ {23} & 0 \ end {pmatrix} [/ matemáticas]
¿Ves el patrón allí? ¿Ves por qué es antisimétrico?
Pero ahora permítanme tomar dos vectores, denotando sus componentes por [math] A_i [/ math] y [math] B_i [/ math], donde [math] i [/ math] va de 1 a 3. El exterior o tensor producto de estos dos vectores es la matriz
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {pmatrix} A_1B_1 & A_1B_2 & A_1B_3 \\ A_2B_1 & A_2B_2 & A_2B_3 \\ A_3B_1 & A_3B_2 & A_3B_3 \ end {pmatrix} [/ math]
En resumen, podría escribir [math] T_ {ij} = A_iB_j [/ math], donde está implícito que tanto [math] i [/ math] como [math] j [/ math] van entre 1 y 3.
Y esto me lleva a una forma de representar el producto cruzado, como el tensor [matemático] C_ {ij} = A_iB_j-A_jB_i [/ matemático]:
[math] \ displaystyle \ begin {pmatrix} 0 & A_1B_2-A_2B_1 & A_1B_3-A_3B_1 \\ A_2B_1-A_1B_2 & 0 & A_2B_3-A_3B_2 \\ A_3B_1-A_1B_3 & A_3B_2-A_2 end_3 \ 0th_math {p}
¿Ves lo que está pasando aquí? El tensor que calculé es, de hecho, un tensor antisimétrico. Pero la receta para calcular este tensor es solo la receta para el producto cruzado. La belleza de hacer las cosas de esta manera es que esta definición del producto cruzado funciona independientemente de la cantidad de dimensiones. En tres dimensiones, y solo en tres dimensiones, un tensor antisimétrico tiene el mismo número de componentes independientes (3) que un vector, por lo que tiene sentido definir el producto cruzado como un vector. Pero en dimensiones distintas de 3, esto no funciona; mientras que definir el producto cruzado como un tensor antisimétrico funciona siempre.
