Estoy seguro de que hay muchos ejemplos, pero aquí hay uno que está cerca de mi corazón como teórico de números: el problema del número de clase.
Para explicar de qué se trata el problema del número de clase, permítanme discutir primero la idea de una extensión algebraica. Una extensión algebraica de los números racionales es una estructura algebraica donde hemos unido un nuevo número algebraico (recuerde que un número es algebraico si es la raíz de un polinomio con coeficientes racionales). Algunos ejemplos:
- [math] \ mathbb {Q} (i) [/ math], que consiste en todo de la forma [math] a + bi [/ math], donde [math] a, b [/ math] son números racionales. Aquí, hemos tomado los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math] y adjuntado [math] i [/ math], que es una raíz de [math] X ^ 2 + 1 [/ math].
- [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-5}) [/ math], que consiste en todo de la forma [math] a + b \ sqrt {-5} [/ math], donde [math] a , b [/ math] son números racionales. Junto a [math] \ sqrt {-5} [/ math], una raíz de [math] X ^ 2 + 5 [/ math].
- [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt [3] {2}) [/ math], que consiste en todo de la forma [math] a + b \ sqrt [3] {2} + c \ sqrt [3 ] {4} [/ math], donde [math] a, b, c [/ math] son números racionales. Junto a [math] \ sqrt [3] {2} [/ math], una raíz de [math] X ^ 3 – 2 [/ math].
El punto clave sobre las extensiones algebraicas es que podemos hablar sobre sumas, multiplicaciones, restas y divisiones en ellas, y por lo tanto podemos hablar sobre descomponer cosas en elementos primos. Sobre los racionales, el teorema fundamental de la aritmética nos garantiza una factorización única, pero no es del todo obvio que esto continúe siendo válido en las extensiones de los racionales.
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De hecho, generalmente no es así, ciertamente hay extensiones algebraicas con factorización única. De hecho, [math] \ mathbb {Q} (i) [/ math] y [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt [3] {2}) [/ math] son ejemplos. Sin embargo, [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-5}) [/ math] no es un ejemplo, porque:
[matemáticas] 6 = 2 \ cdot 3 = (1 + \ sqrt {-5}) (1 – \ sqrt {-5}) [/ matemáticas],
y puede mostrar que ninguno de [math] 2,3, 1 \ pm \ sqrt {-5} [/ math] puede descomponerse más. Entonces, este es un ejemplo en el que puedes factorizar algo de dos maneras completamente diferentes.
Hay una construcción matemática llamada número de clase que, en términos generales, mide qué tan lejos está una extensión algebraica de tener una factorización única. Si el número de clase es 1, entonces tiene una factorización única. A medida que se hace más grande, hay más y más formas diferentes de factorizar las cosas.
Gauss observó los números de clase de los campos cuadráticos reales e imaginarios; aquí, los campos cuadráticos reales son los de la forma [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {n}) [/ math], y los campos cuadráticos imaginarios son las de la forma [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-n}) [/ math]. Estoy seguro de que estaba interesado en encontrar un patrón simple que le dijera cuál es el número de clase para cualquier [matemática] n [/ matemática]. Si existe tal cosa (que dudo un poco), entonces todavía tenemos que encontrarla, pero Gauss hizo algunas conjeturas basadas en los números de clase que pudo calcular:
- El número de clase de [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-n}) [/ math] va a [math] \ infty [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math].
- Los únicos campos cuadráticos imaginarios [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-n}) [/ math] para los cuales el número de clase es 1 son [math] n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 [/ matemáticas]. También dio listas de campos con las clases número 2 y 3.
- Hay infinitos campos cuadráticos reales con la clase número 1.
La primera conjetura fue probada en 1934 por Heilbronn. Heegner completó la clasificación de todos los campos cuadráticos imaginarios con la clase número 1 (aunque con algunos agujeros) en 1952. A partir de 2004, se conocen todos los campos cuadráticos imaginarios con un número de clase de hasta 100 (debido al extenso trabajo computacional realizado por Watkins).
La última conjetura, sin embargo, todavía está completamente abierta. Hay buenas razones para creer que es verdad, pero no tenemos una prueba.
