OK, te contaré la historia habitual. No sé cuánto debería explicar, supongo que ya tienes algo de experiencia en geometría diferencial. Si no, puedo proporcionar detalles faltantes.
Primero, la geometría. La estructura más importante en la relatividad general es el tensor métrico y supongo que sabes qué es eso. Esencialmente, proporciona la noción de un producto escalar y, en consecuencia, utilizando el tensor métrico puede definir la longitud de cualquier curva en un múltiple. En física, esto significa que puede medir distancias espaciales e intervalos de tiempo. Denotaré el tensor métrico por [math] g_ {ab} [/ math]. Estoy usando la notación de índice que es más útil en este contexto.
De la métrica, se pueden derivar varias otras estructuras. En particular, puede definir la conexión que le permite diferenciar los campos tensoriales. La conexión es equivalente a la derivada covariante, por lo que si [math] t ^ {a..b} _ {c..d} [/ math] es un campo tensor, su derivada covariante es [math] \ nabla_e t ^ {a ..b} _ {c..d} [/ math]. En general, la conexión [matemáticas] \ nabla [/ matemáticas] es independiente de métrica, métrica y conexión son dos nociones diferentes. Pero, en relatividad general, usamos la conexión especial, llamada conexión Riemann-Levi-Civita. Se define de tal manera que el tensor de la métrica es covariantemente constante, [math] \ nabla_c g_ {ab} = 0. [/ math] También decimos que la conexión es compatible con la métrica. Y la métrica define de forma única esta conexión, por lo que, en la relatividad general, la métrica es primaria y la conexión sigue.
En coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano, la conexión se reduce a la derivada parcial habitual, es decir
[matemáticas] \ nabla_e t ^ {a..b} _ {c..d} = \ frac {\ partial t ^ {a..b} _ {c..d}} {\ partial x ^ e}. [/matemáticas]
Pero incluso en el espacio euclidiano puede usar coordenadas curvilíneas, en cuyo caso la derivada parcial debe ser “corregida” por términos adicionales. En términos generales, la conexión mide cuánto difieren las coordenadas de las coordenadas cartesianas.
La conexión también es importante porque define cuáles son las geodésicas. Dada una curva con el vector tangente [matemática] u ^ a [/ matemática], la curva se llama geodésica si
[matemáticas] u ^ a \ nabla_a u ^ b = 0, [/ matemáticas]
lo que significa que el vector [math] u ^ a [/ math] es covariantemente constante a lo largo de la curva. Es una generalización de lo que sabemos del espacio euclidiano: la velocidad es constante a lo largo de la trayectoria, donde la velocidad es tangente vectorial a la trayectoria. Y como sabemos, las geodésicas en el espacio plano son simplemente líneas rectas. En el espacio curvo no sabemos cuál es la línea recta, esta noción no tiene un significado obvio. Pero el análogo de la línea recta en el espacio curvo es geodésico.
Si [math] \ nabla_a = \ partial_a [/ math], no significa que la variedad esté curvada. Para ver la curvatura, debe introducir el tensor de Riemann [matemático] R ^ {a} _ {\ phantom {a} bcd} [/ matemático] que surge del conmutador de derivadas covariantes.
El tensor de Riemann describe la desviación de las geodésicas cercanas. En el espacio plano, la aceleración de la geodésica es cero. Pero dado que las geodésicas son líneas rectas, también la aceleración relativa de las geodésicas es cero. En el espacio curvo, las geodésicas tienen aceleración cero, pero cuando te mueves a lo largo de una geodésica, otra geodésica se acelerará relativamente con respecto a ti. El tensor de Riemann describe exactamente esta aceleración relativa.
Como el tensor de Riemann tiene cuatro índices, podemos contraer el tensor a través de dos de ellos, lo que nos da el tensor de Ricci:
[matemáticas] R_ {ab} = R ^ {c} _ {\ phantom {c} acb}. [/ matemáticas]
El tensor de Ricci describe las deformaciones de los elementos de volumen, es decir, la desviación del volumen del elemento de volumen en coordenadas cartesianas. Finalmente, podemos contraer el tensor de Ricci con la métrica, obteniendo la curvatura escalar
[matemáticas] R = g ^ {ab} R_ {ab}. [/ matemáticas]
Este escalar está relacionado con la curvatura gaussiana estándar.
En la relatividad general, todas estas estructuras se derivan, después de todo, del tensor métrico.
Ahora la física. La idea de Einstein era que nuestra realidad debería ser descrita por una variedad de cuatro dimensiones llamada espacio-tiempo, que está equipada con la métrica de la firma Lorentziana (recuerde que cualquier forma cuadrática no degenerada puede transformarse en la forma diagonal, donde las entradas diagonales son [ math] \ pm 1 [/ math]. El número de + 1’s y -1’s define la firma. La firma Lorentziana es +1, -1, -1, -1). ) Las partículas reales y su historia están representadas por curvas en el espacio-tiempo, que se llaman líneas mundiales.
Según Einstein, la métrica del espacio-tiempo, que a su vez define la curvatura del espacio-tiempo, está determinada por la materia (fuentes del campo gravitacional). Dada una línea mundial, su vector tangente [matemática] u ^ a [/ matemática] se llama 4 velocidades. La línea mundial es geodésica, si [matemática] u ^ a \ nabla_a u ^ b = 0. [/ matemática] En relatividad general, las partículas que caen libremente en el campo gravitacional (es decir, no se ven afectadas por otras interacciones como el campo EM) moviéndose a lo largo de geodésicas. El tensor de Riemann describe la desviación de las geodésicas cercanas que se interpreta como las fuerzas de marea causadas por la fuerza gravitacional.
Y después de la introducción, volvamos a su pregunta.
Con la interpretación geométrica antes mencionada del campo gravitacional, el problema sigue siendo: ¿cómo afecta exactamente la materia a la geometría?
Bueno, la materia es descrita por el llamado tensor de momento de energía [matemática] T_ {ab} [/ matemática]. Esta es una generalización de cuatro dimensiones del tensor de tensiones que conoce de la mecánica de fluidos elemental. Sus componentes describen el flujo de la energía-momento. También sabemos ahora que la energía está conservada, por lo que el tensor de energía-momento debe satisfacer la “ecuación de continuidad” (nuevamente, recuerde la dinámica de fluidos o la conservación de la carga eléctrica, donde la conservación se expresa mediante la ecuación [matemática] \ parcial_a j ^ a = 0 [/ matemática], donde [matemática] j_a [/ matemática] es la actual). Para el tensor energía-momento, la ecuación de continuidad adquiere la forma
[matemáticas] \ nabla ^ a T_ {ab} = 0. [/ matemáticas]
Hay muchas cosas que se deben decir al respecto, pero procedamos.
Entonces, si la materia afecta la geometría, tenemos que relacionar alguna cantidad geométrica con el tensor de energía-momento que describe la materia. ¿Qué cantidad geométrica es un tensor de rango dos? La elección obvia es el tensor de Ricci [matemáticas] R_ {ab}. [/ Matemáticas] Entonces, la primera suposición de Einstein es la ecuación como
[matemáticas] R_ {ab} = k \, T_ {ab} [/ matemáticas]
donde k es algo constante En el vacío, es decir, en la región donde la materia gravitante no está presente, [math] T_ {ab} [/ math] desaparece y, por lo tanto, la ecuación es
[matemáticas] R_ {ab} = 0. [/ matemáticas]
Como la métrica es el objeto fundamental, escribimos el tensor de Ricci en términos de la métrica (desconocida) y resolvemos la ecuación. (De hecho, puede ser una tarea muy difícil, pero en principio esto es lo que tenemos que hacer). La última ecuación es, en el vacío, de hecho correcta. En el límite de campo débil, Einstein lo usó para calcular el desplazamiento del perihelio de Mercurio y funcionó perfectamente.
Sin embargo, en presencia de materia, surge un problema grave. Por definición, el tensor de Ricci satisface las llamadas identidades de Bianchi contraídas, lo que significa
[matemáticas] (1) \ nabla ^ a R_ {ab} = \ frac {1} {2} \, \ nabla_b R. [/ matemáticas]
Y eso es un problema. Tome la primera suposición de Einstein,
[matemáticas] R_ {ab} = k \, T_ {ab} [/ matemáticas]
y aplique [math] \ nabla ^ a [/ math]. El lado derecho desaparece debido a la “ecuación de continuidad”, mientras que el lado izquierdo está determinado por las identidades de Bianchi. Por lo tanto, obtenemos
[matemáticas] \ nabla_a R = 0. [/ matemáticas]
Esto significa que, si la conservación de energía se mantiene, la curvatura escalar debe ser constante en todas partes.
Esto es irrazonablemente restrictivo. Por ejemplo, imagine una estrella aislada, muy masiva. En su vecindario, se espera que la curvatura sea grande, porque el campo gravitacional es muy fuerte. Pero lejos de la estrella, el campo gravitacional decae y va a cero, por lo que también se espera que la curvatura sea insignificante lejos de la estrella. Por lo tanto, la curvatura ciertamente no es constante en todas partes.
Pero Einstein también notó que la ecuación problemática (1) también sugiere la solución de este problema. Si reescribe esa ecuación en esta forma (¡equivalente!):
[matemáticas] \ nabla ^ a \ left (R {ab} – \ frac {1} {2} \, g_ {ab} \, R \ right) = 0, [/ math]
puede ver que la cantidad entre paréntesis satisface la misma ecuación de continuidad que [math] T_ {ab}. [/ math] En otras palabras, Einstein postuló la ecuación modificada
[matemáticas] R_ {ab} – \ frac {1} {2} \, g_ {ab} \, R = k \, T_ {ab}. [/ matemáticas]
Si ahora aplica [math] \ nabla ^ a [/ math] en ambos lados, y usa identidades de Bianchi y conservación de energía, obtendrá una ecuación trivial
[matemáticas] 0 = 0. [/ matemáticas]
Y esto está bien, porque la divergencia de [matemáticas] T_ {ab} [/ matemáticas] debe desaparecer a toda costa. Y se eligió el lado izquierdo para que su divergencia también desaparezca automáticamente. Por lo tanto, la ecuación modificada es autoconsistente y no impone restricciones físicas a las propiedades de la materia. ¡Excelente!
El lado izquierdo se llama tensor de Einstein , que se define por
[matemáticas] G_ {ab} = R_ {ab} – \ frac {1} {2} \, g_ {ab} \, R. [/ matemáticas]
En términos de este tensor, las ecuaciones de Einstein son
[matemáticas] G_ {ab} = k \, R_ {ab}. [/ matemáticas]
Desde el límite de campo débil se puede encontrar [matemáticas] k = \ dfrac {8 \, \ pi \, G} {c ^ 4}, [/ matemáticas] donde G es la constante gravitacional newtoniana habitual y c es la velocidad de la luz, por supuesto.
Para concluir esta parte, el tensor de Einstein no está directamente relacionado con la geometría, no tiene un significado geométrico obvio. Por otro lado, el tensor de Ricci, el tensor métrico y la curvatura escalar tienen un significado geométrico tan directo, como expliqué al principio. Sin embargo, el tensor de Einstein es una combinación tan particular de esas cantidades geométricas que es consistente con la conservación de la energía y el momento. La suposición afortunada de Einstein (por “adivinar” quiero decir 10 años de arduo trabajo 🙂) es que es exactamente el tensor [matemático] G_ {ab} [/ matemático] el que debe colocarse en el lado izquierdo de las ecuaciones de campo.
¿Por qué dije que es una suposición afortunada? Mire, hemos encontrado un tensor particular que es consistente con la conservación de energía. ¡Pero puede haber muchos otros tensores diferentes con una divergencia que desaparece! El tensor de Einstein es el más simple, por lo que Einstein postuló sus ecuaciones de campo de esta manera. ¡Afortunadamente, este tensor parecía ser la elección correcta! Está confirmado experimentalmente, por lo que es la elección correcta.
Sin embargo, más tarde Lovelock demostró que el tensor de Einstein es un tensor bastante único con la propiedad deseada. La afirmación es que cualquier tensor que
- es consistente con la conservación de energía (es decir, tiene una divergencia que desaparece)
- se construye a partir de la métrica y, como máximo, derivadas parciales
es necesariamente el tensor de Einstein. Ya discutimos la primera condición. A continuación, todo se construye a partir de la métrica, como hemos visto. Entonces, [math] G_ {ab} [/ math] es, de hecho, el único tensor que satisface los requisitos físicos.
Esta prueba justifica, a posteriori, la elección de Einstein también desde el punto de vista matemático. Ya sabes … los matemáticos siempre son tan inteligentes después de que los físicos descubren algo 🙂
La última observación es sobre el enfoque de Hilbert a la relatividad general (OK, Hilbert era realmente un matemático extraordinariamente extraordinario , y entendió la física perfectamente). Después de que Einstein le explicara sus problemas, Hilbert comenzó con el principio variacional. Sabes que, según el principio de Hamilton, las ecuaciones de la física se derivan de la variación de alguna acción. Hilbert se dio cuenta de que la acción para el campo gravitacional debe ser una cantidad escalar de Lorentz. Las únicas características escalares de la curvatura son: curvatura escalar. Entonces, la acción debe ser de la forma
[matemáticas] S = \ int R \, \ omega, [/ matemáticas]
donde [math] \ omega = \ sqrt {-g} \, dx ^ 0 \ wedge dx ^ 1 \ wedge dx ^ 2 \ wedge dx ^ 3 [/ math] es el elemento de volumen en coordenadas arbitrarias, y [math] g [/ math] es el determinante de la métrica. Variando esta acción con respecto a la métrica, encontrará algunos términos que se pueden convertir a la integral de superficie y, por lo tanto, no importan, y la parte no trivial de la variación es exactamente el tensor de Einstein. Entonces, esta es otra justificación para la elección de Einstein.
