Primero note que cada término es siempre positivo. Por lo tanto, necesitamos encontrar un buen límite superior o equivalente del término para demostrar que hay convergencia.
La clave aquí es notar que, cuando n se hace más grande, [math] \ sqrt {n ^ 3 + 1} [/ math] y [math] \ sqrt {n ^ 3} [/ math] son más o menos lo mismo. Eso se debe a la raíz cuadrada, por supuesto.
Ahora, ¿cómo formalizamos esto? Hay dos formas de manejar esta situación:
- Cómo demostrar que la complejidad del espacio es en la mayoría de los casos complejidad
- ¿Tienes algún problema lógico realmente difícil?
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- ¿Cómo es ir a la escuela de posgrado para la investigación de operaciones? ¿Vale / valió la pena? ¿Cuáles fueron los requisitos previos?
- Expansión de Taylor
Este es mi favorito, porque se basa en el argumento informal que acabo de decir. De hecho, puedes reescribir
[matemática] \ sqrt {n ^ 3 + 1} – [/ matemática] [matemática] \ sqrt {n ^ 3} = [/ matemática] [matemática] \ sqrt {n ^ 3} \ veces ([/ matemática] [ matemáticas] \ sqrt {1+ \ frac {1} {n ^ 3}} – 1) [/ matemáticas]
Usando la primera expansión de Taylor de la función [math] x \ longrightarrow \ sqrt {1 + x} [/ math] en 0 (que es [math] 1+ \ frac {x} {2} + o (x) [/ matemáticas]) puedes escribir
[matemáticas] \ sqrt {n ^ 3 + 1} – [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {n ^ 3} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {n ^ 3} \ veces (\ frac {1} {2n ^ 3} + o (\ frac {1} {n ^ 3}) [/ math]
Que luego reescribimos
[matemáticas] \ frac {1} {2n ^ {\ frac {3} {2}}} + o ([/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {n ^ {\ frac {3} {2}} })[/matemáticas]
Ahora, el último paso es utilizar el hecho de que cerca de 0 (es decir, en nuestro caso, para cada n), [matemática] \ sin (x) <x [/ matemática] y aquí está su respuesta. El término es menor o igual que [math] \ frac {1} {2n ^ {\ frac {3} {2}}} [/ math], que es el término de una serie convergente, Y es positivo. Qed
- Álgebra
Ahora, en realidad, no necesita ir tan lejos como para usar la serie Taylor porque hay una solución más inteligente que usa un truco común que generalmente encuentra cuando se trata de diferencias de raíces cuadradas.
Lo doy aquí porque es hermoso en su forma, pero no lo recomendaría en este caso específico. Las expansiones de Taylor se generalizan mejor a otros problemas de convergencia, este es específico para las raíces cuadradas.
Así que aquí está, solo reescribe:
[matemáticas] \ sqrt {n ^ 3 + 1} – \ sqrt {n ^ 3} = (\ sqrt {n ^ 3 + 1} – \ sqrt {n ^ 3}) \ times \ frac {\ sqrt {n ^ 3 + 1} + \ sqrt {n ^ 3}} {\ sqrt {n ^ 3 + 1} + \ sqrt {n ^ 3}} = \ frac {n ^ 3 + 1-n ^ 3} {\ sqrt { n ^ 3 + 1} + \ sqrt {n ^ 3}} [/ matemáticas]
Ahora solo tienes:
[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {n ^ 3 + 1} + \ sqrt {n ^ 3}} \ leqslant \ frac {1} {2 \ sqrt {n ^ 3}} [/ matemáticas]
… y aquí tienes! Tiene aproximadamente el mismo límite superior que con el primer método, casi sin sudar. Solo tienes que terminar de la misma manera.
