No siempre, una paradoja puede significar simplemente que llegas a dos puntos de vista opuestos que no están de acuerdo entre sí. El otro sentido de paradoja, en el que llega a una respuesta o resultado que es ridículo o absurdo , generalmente indicará una falla en la prueba o una suposición incorrecta, que puede ser lo que está buscando, especialmente cuando usa reductio ad absurdum.
El primer caso es más interesante. Por ejemplo, digamos que quiero demostrar que la afirmación “Esta oración es falsa”. es realmente cierto Usemos reductio ad absurdum … suponiendo que la declaración sea falsa significa que la declaración está mintiendo sobre sí misma, lo que significa que debe ser cierta, una contradicción. Así que hemos demostrado que el resultado es cierto, ¿verdad? No, porque también podemos demostrar que la afirmación es falsa por contradicción. Si suponemos que la afirmación es verdadera, entonces, por su verdad, es una afirmación falsa, una contradicción. Así que hemos demostrado que el resultado es falso.
En cierto sentido, muestra una falla no en la prueba sino en el método de prueba. Asumimos implícitamente dos cosas cuando nos proponemos probar una declaración:
- ¿Podemos encontrar el valor de a, b, c y d si se da a + b = 41, a + c = 113, b + d = 26 y c + d = 98?
- ¿Cuál es el significado de la doble diferenciación?
- Cómo ser seleccionado en mi equipo nacional (India) para la OMI
- Me gustan las matemáticas pero no quiero hacerlo. ¿Qué tengo que hacer?
- Cómo probar lim a ^ n = 0
1.) Que algún resultado es cierto.
2.) Que el valor de verdad del resultado es demostrable.
Pero al igual que Kurt Gödel demostró en su teorema de incompletitud, hay declaraciones cuyo valor de verdad no puede discernirse dentro de un sistema axiomático particular. Los axiomas subyacentes a la teoría básica de conjuntos no se pueden usar para probar la validez de ciertas afirmaciones, por lo que la teoría de conjuntos y la teoría de números están incompletas . En la situación anterior, he presentado una declaración que no es ni verdadera ni falsa. Cada argumento que hice fue lógicamente sólido; sin embargo, hice una o ambas de las suposiciones anteriores, que no se aplicarán a declaraciones fuera del alcance del sistema en el que estoy trabajando. Douglas Hofstadter (científico cognitivo), en su famoso libro Godel, Escher, Bach , describe esto como dos árboles fractales creados a partir de las declaraciones probablemente verdaderas y las declaraciones probadamente falsas; desde el punto de vista del sistema axiomático, todo lo que está fuera de estos “árboles” no existe … es una tierra de nadie.
En cualquier caso, volviendo a su pregunta original, una “prueba” (como solo la secuencia escrita de argumentos lógicos y deducciones basadas en algún conjunto de axiomas) puede ser perfectamente racional y racional y, sin embargo, llegar a una paradoja; sin embargo, si la paradoja viola verdades comprobables ya conocidas, entonces es una contradicción y algo estaba mal con el enunciado, la prueba o las hipótesis del problema. En el ejemplo anterior, nuestra “contradicción” terminó siendo interna a la prueba, es decir, fue una contradicción de la suposición de la prueba pero no de ninguna verdad comprobable ya conocida, debido a esto, la prueba es sólida pero paradójica en el sentir que en realidad no prueba nada.
Por supuesto, todo esto es juzgar fallas en las pruebas basadas en si la secuencia lógica de deducciones en la prueba es correcta. Si decide juzgar una prueba sobre la compatibilidad de la hipótesis y la conclusión, entonces sí, podría decir que la paradoja indica un defecto en la prueba; sin embargo, esto pone la responsabilidad en la prueba para juzgar el valor de verdad tanto de la hipótesis como de la conclusión. Me gusta pensar que la “prueba” es simplemente una progresión de deducciones lógicas desde el punto A al punto B, independientemente de dónde se encuentren esos dos puntos.