¿Cuál es la diferencia entre una definición y un teorema?

Esto en realidad puede ser un asunto sorprendentemente delicado. Creo que las otras respuestas hacen un buen trabajo al describir las definiciones de “libro de texto” de los dos términos, pero la distinción puede ser mucho más ambigua en la vida real.

Considere la definición de un grupo de mentiras. Los primeros teóricos de la Mentira no utilizaron la definición moderna: más bien, estudiaron lo que hoy llamaríamos Grupos Locales de Mentira (en donde la multiplicación e inversión solo se definen en un vecindario de la identidad). Finalmente, (creo) Cartan demostró que cada grupo local de mentiras es de hecho un grupo de mentiras en el sentido moderno. A partir de entonces, cada libro sobre grupos de mentiras tomó la definición moderna como punto de partida. Entonces, aunque la definición de un Grupo de Mentiras puede parecer que introduce el concepto ex nihilo, en realidad contiene (u oculta, dependiendo de su punto de vista) un resultado fundamental profundo. Este es un ejemplo de la forma en que un buen teorema puede hacer que una teoría completa se reconstruya “desde cero”.

Algo similar sucedió con la definición de una variedad. Poincare definió originalmente una variedad como un subconjunto de R ^ n que localmente era el gráfico de varias funciones. Cuando Whitney demostró su teorema de inclusión, se dio cuenta de que la definición de Poincare es en realidad equivalente a la definición moderna. Se podría decir que la validez de la definición moderna de una variedad (en la medida en que sea coherente con la definición original) depende del teorema de inclusión de Whitney, que en sí mismo es un resultado altamente no trivial.

En otras palabras: no es raro que los teoremas se reformulen como definiciones para hacer que el tema sea “más limpio”.

Una definición crea una nueva entidad matemática “de la nada”. Un teorema establece alguna relación entre entidades matemáticas previamente definidas.

(Por lo general, un teorema debe ir acompañado de una prueba de su corrección; de lo contrario, solo se lo considera una conjetura ).

Por ejemplo, “una hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo” es una definición ( define qué es una hipotenusa) mientras que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados” un teorema, en este caso el teorema de Pitágoras (establece una relación entre la entidad definida previamente y otras entidades matemáticas).

Una definición introduce nuevas expresiones a su idioma. Es decir, si se conocen los términos “cuadrilátero” y “ángulo recto”, puede introducir la nueva noción de “rectángulo” con una definición como la anterior.

Un teorema, por otro lado, implica nociones conocidas (definidas) y expresa una declaración comprobable sobre estas. Por ejemplo: un cuadrilátero es un rectángulo si y solo si es un paralelogramo con diagonales iguales.

Una definición simplemente asigna un nombre a algo, generalmente un patrón o estructura común. Proporciona una etiqueta útil para algo que es útil o que puede aparecer con frecuencia, pero en realidad no le brinda ninguna información nueva sobre el sistema en sí.

Un teorema es cualquier afirmación lógica que ha sido matemáticamente probada. En general, una prueba es un conjunto de deducciones lógicas basadas en algunos axiomas fundamentales, que son afirmaciones que se suponen verdaderas. Esencialmente, los axiomas se mantienen verdaderos por fiat donde los teoremas tienen que venir con una prueba.