Un grupo es un par [math] (G, \ cdot) [/ math] donde “[math] \ cdot [/ math]” es una operación binaria sobre el conjunto [math] G [/ math], donde los axiomas de un grupo está satisfecho por este par.
Para ampliar esto, una operación binaria “[math] \ cdot [/ math]” sobre un conjunto [math] G [/ math] es una función [math] \ cdot: G \ times G \ to G [/ math] . (Entonces, para cada par de órdenes en [matemáticas] G \ veces G: = \ {(g, h) \,: \, g, h \ en G \} [/ matemáticas], la operación “[matemáticas] \ cdot [/ math] “produce un elemento de [math] G [/ math].)
Por supuesto, solo llamamos a un par [math] (G, \ cdot) [/ math] un grupo si satisface los axiomas de un grupo: la operación debe ser asociativa, debe haber un elemento de identidad (único) [ math] 1_G \ en G [/ math] para la operación binaria, y cada elemento de [math] G [/ math] necesita admitir un elemento inverso (que también será único).
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Por lo tanto, no se debe confundir el grupo [math] (G, \ cdot) [/ math] con el conjunto subyacente [math] G [/ math]: la operación binaria es una parte fundamental de la definición de un objeto de grupo.
Dicho esto, una vez que se comprende la operación, es un “abuso de notación” normal decir simplemente, en este contexto, “El grupo [matemáticas] G [/ matemáticas]”. ¡Esto es simplemente porque los humanos son flojos!
