¿Sentido?
No he entendido lo que realmente querías preguntar completamente. Sin embargo, explicaré por qué tenemos transformadas de Fourier y transformadas de Fourier inversas utilizando un ejemplo computacional para darle un toque realista.
Una operación muy común es que las aplicaciones de procesamiento de señal es convolución. Si tenemos las longitudes tanto de la secuencia de entrada como de la secuencia de respuesta al impulso como N, entonces la secuencia de salida sería de longitud 2N. La complejidad computacional para encontrar esta secuencia será [matemática] O (N ^ 2) [/ matemática] (creo, corríjame si me equivoco).
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Sabemos que la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar las 2 transformaciones en el dominio de la frecuencia y tomar el inverso.
Por lo tanto, si x [n] es la entrada, h [n] es la respuesta al impulso e y [n] es la salida, entonces por convolución tenemos [matemática] y [n] = x [n] \ ast h [n] [ /matemáticas]. Dado que la convolución es computacionalmente engorrosa (mi propia experiencia, créanme), se toma un desvío al encontrar primero las transformadas de Fourier de x [n] y h [n], multiplicando las transformadas y tomando la transformada inversa de Fourier del producto. Para nosotros los humanos, ambos pueden verse igual de malos, pero para las computadoras la ruta de desvío es mucho más eficiente, como mostraré.
Ahora, para encontrar la Transformada de Fourier, tenemos algoritmos rápidos como FFT e IFFT para el inverso y su complejidad típica es [matemática] N \ log N [/ matemática]. Entonces, si estoy tomando FFT de x y h, el número total de pasos es [matemática] 2N \ log N [/ matemática]. Luego, multiplicando las 2 secuencias de N FFT de longitud por elementos (suponiendo que FFT se tomó como la misma longitud de la señal) se tomaron N pasos. Luego, tomar el IFFT de esta secuencia de producto toma los pasos [matemática] N \ log N [/ matemática]. Entonces, la complejidad de toda esta operación es [matemática] O (N \ log N) [/ matemática] (eliminando los términos de orden inferior y los factores multiplicadores).
Es fácil ver que [matemática] N ^ 2> N \ log N [/ matemática] y esta diferencia se vuelve pronunciada a medida que N toma valores extremadamente grandes (la base del logaritmo no importará mucho, ya sea 10 o e o 2) Entonces, la forma preferida de realizar convoluciones computacionalmente sería tomar transformaciones, multiplicarlas y tomar la transformación inversa. Esto requiere la existencia de la transformación inversa.
Ahora, si queremos hablar sobre nuestros exámenes, puedo pensar en este ejemplo:
Encuentre el resultado de convolucionar [math] \ exp (-at) u (t) [/ math] y [math] \ cos (\ omega_0t) [/ math]. (La respuesta de CA de un circuito RC típico es el punto crucial allí)
Si tuviera que abordar el problema anterior utilizando la integral de convolución, me costaría mucho. Pero usar la transformación de Fourier, multiplicar y tomar la transformación inversa parece una ruta mucho mejor (¡no implicaría integrales engorrosas con seguridad!).
